Σφαιρικό δοχείο
Συντονιστής: chris_gatos
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Σφαιρικό δοχείο
Ρίχνουμε νερό με σταθερή ροή σε ένα σφαιρικό δοχείο. Να σχεδιαστεί το γράφημα του ύψους της στάθμης του νερού ως προς τον χρόνο .
Σημειώνω ότι εκ πρώτης όψεως είναι "δύσκολο" να σχεδιάσουμε το γράφημα, αφού βρούμε την σχέση μεταξύ και , όμως υπάρχει ένας απλός τρόπος να το πετύχουμε.
Σημειώνω ότι εκ πρώτης όψεως είναι "δύσκολο" να σχεδιάσουμε το γράφημα, αφού βρούμε την σχέση μεταξύ και , όμως υπάρχει ένας απλός τρόπος να το πετύχουμε.
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Σφαιρικό δοχείο
Έστω ότι παίρνει χρόνο για να γεμίσει η μισή σφαίρα. Για χρόνο ως αρχικά έχουμε γρήγορη αύξηση του ύψους και σταδιακά πιο αργή. Δηλαδή η συνάρτηση είναι κοίλη. Από ως πάει ανάποδα, δηλάδη είναι κυρτή. Στο έχουμε σημείο καμπής.
Μιχάλη, φαντάζομαι ήθελες να αποφύγουμε τον υπολογισμό του όγκου ως συνάρτηση του ύψους, σωστά;
Να προσθέσω ότι βγαίνει πως Δηλαδή το είναι ανάλογο του Δεν θα λύσουμε ως προς αλλά θα σχεδιάσουμε πρώτα την . Μετά θα κάνουμε ανάκλαση στην για να πάρουμε το γράφημα της αντίστροφης. Ασφαλώς θα σχεδιάζουμε μέχρι αφού από εκεί και πέρα δεν μας ενδιαφέρει. Το αποτέλεσμα είναι ακριβώς το ίδιο όπως περιέγραψα στην πρώτη παράγραφο. Παίρνουμε επιπλέον ότι η παράγωγος στα και τείνει στο άπειρο, κάτι που δεν βλέπω πως να το εξηγήσουμε χωρίς κάποιες πράξεις.
Μιχάλη, φαντάζομαι ήθελες να αποφύγουμε τον υπολογισμό του όγκου ως συνάρτηση του ύψους, σωστά;
Να προσθέσω ότι βγαίνει πως Δηλαδή το είναι ανάλογο του Δεν θα λύσουμε ως προς αλλά θα σχεδιάσουμε πρώτα την . Μετά θα κάνουμε ανάκλαση στην για να πάρουμε το γράφημα της αντίστροφης. Ασφαλώς θα σχεδιάζουμε μέχρι αφού από εκεί και πέρα δεν μας ενδιαφέρει. Το αποτέλεσμα είναι ακριβώς το ίδιο όπως περιέγραψα στην πρώτη παράγραφο. Παίρνουμε επιπλέον ότι η παράγωγος στα και τείνει στο άπειρο, κάτι που δεν βλέπω πως να το εξηγήσουμε χωρίς κάποιες πράξεις.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σφαιρικό δοχείο
Δημήτρη, δεν είχα κατά νου να αποφύγουμε τον όγκο.
Αυτό που ήθελα να δω, το κάνεις εδώ:
Αυτό που ήθελα να δω, το κάνεις εδώ:
Συγκεκριμένα, επειδή η επίλυση της τριτοβάθμιας ως προς δίνει "δύσκολη παράσταση", ήθελα ακριβώς να σχεδιάσουμε την ίδια την (απλό) και από το γράφημά της να συμπεράνουμε εκείνο της , ως άνω.Demetres έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 14, 2017 1:41 pmΔεν θα λύσουμε ως προς αλλά θα σχεδιάσουμε πρώτα την . Μετά θα κάνουμε ανάκλαση στην για να πάρουμε το γράφημα της αντίστροφης. Ασφαλώς θα σχεδιάζουμε μέχρι αφού από εκεί και πέρα δεν μας ενδιαφέρει. Το αποτέλεσμα είναι ακριβώς το ίδιο όπως περιέγραψα στην πρώτη παράγραφο.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Σφαιρικό δοχείο
Ωραία. Ας υπολογιστεί και ο όγκος τότε. (Ήδη έδωσα τον τύπο.) Υπάρχει και απόδειξη χωρίς ολοκληρώματα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σφαιρικό δοχείο
Αν εννοείς με αρχή του Cavalieri, είναι κομψότατο. Το διδάσκω στην Ιστορία των Μαθηματικών, αλλά ας το αφήσω για να το ψάξουν όσοι επιθυμούν.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Σφαιρικό δοχείο
Ναι Μιχάλη, ακριβώς αυτό είχα υπόψη μου.
Ας δώσω πρώτα την απάντηση με ολοκληρώματα. Αυτή είναι όπου η ακτίνα του κύκλου που σχηματίζεται όταν κόψουμε την σφαίρα σε ύψος . Από Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι . [Αυτό ισχύει για όλα τα . Χρειάζεται όμως να ελέγξουμε ξεχωριστά τις περιπτώσεις και .]
Άρα
Ας δώσω πρώτα την απάντηση με ολοκληρώματα. Αυτή είναι όπου η ακτίνα του κύκλου που σχηματίζεται όταν κόψουμε την σφαίρα σε ύψος . Από Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι . [Αυτό ισχύει για όλα τα . Χρειάζεται όμως να ελέγξουμε ξεχωριστά τις περιπτώσεις και .]
Άρα
Re: Σφαιρικό δοχείο
Μιχάλη, Δημήτρη και Γιώργο Μπαλόγλου, καλημέρα...Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 12, 2017 9:35 pmΡίχνουμε νερό με σταθερή ροή σε ένα σφαιρικό δοχείο. Να σχεδιαστεί το γράφημα του ύψους της στάθμης του νερού ως προς τον χρόνο .
Σημειώνω ότι εκ πρώτης όψεως είναι "δύσκολο" να σχεδιάσουμε το γράφημα, αφού βρούμε την σχέση μεταξύ και , όμως υπάρχει ένας απλός τρόπος να το πετύχουμε.
Ύστερα από τα ανωτέρω παραθέτω τα ακόλουθα σχήματα:
1ο Σχήμα: Όγκος σφαιρικού τμήματος με μία βάση: Αν στον ανωτέρω τύπο εφαρμόσουμε τη σχέση:
τότε καταλήγουμε στον τύπο:
2ο Σχήμα: Γράφημα του όγκου σε σχέση με το ύψος Χωρίς να μπορούμε να λύσουμε την (2) ως προς τη μεταβλητή
προχωρούμε στο γράφημα της αντίστροφης συνάρτησης
με τη βοήθεια λογισμικού (συμμετρική ως προς τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας).
3ο Σχήμα: Γράφημα της (3) Στο σχήμα αυτό βλέπουμε στον οριζόντιο άξονα τη μεταβολή του όγκου
με σταθερή αύξηση, πράγμα που σημαίνει ότι ο άξονας αυτός εκφράζει
και τη μεταβολή του χρόνου αφού η ροή του υγρού στη σφαίρα αυτή
είναι σταθερή.
Τέλος παραθέτω κι ένα σχήμα στο χώρο που δηλώνει όλο αυτό το
δρώμενο, φτιαγμένο να λειτουργεί κάτω από τα δεδομένα του
ωραίου αυτού προβλήματος.
4ο Σχήμα Στο σχήμα αυτό βλέπουμε στιγμιότυπο του γεμίσματος
αυτής της "σφαιρικής δεξαμενής" νερού.
Κώστας Δόρτσιος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σφαιρικό δοχείο
Μιχάλη σ' ευχαριστώ πολύ! Να είσαι καλά.
Συνεχίζοντας τον προβληματισμό σχετικά με το "σφαιρικό δοχείο"
σκέφτομαι, πώς θα ήταν το όλο μας σκεπτικό, στην περίπτωση όπου η ροή του
γεμίσματος δεν ήταν σταθερή, αλλά είχε μια άλλη μορφή.
Για πράδειγμα αν η η ροή του γεμίσματος ήταν γενικά της μορφής:
όπου ο συνολικός χρόνος γεμίσματος του δοχείου - σφαίρας
αυτής με ακτίνα .
Ψάχνω να βρώ μια τέτοια συνάρτηση, ώστε να προκύπτει ένα όμορφο σχήμα.
Κώστας Δόρτσιος
Συνεχίζοντας τον προβληματισμό σχετικά με το "σφαιρικό δοχείο"
σκέφτομαι, πώς θα ήταν το όλο μας σκεπτικό, στην περίπτωση όπου η ροή του
γεμίσματος δεν ήταν σταθερή, αλλά είχε μια άλλη μορφή.
Για πράδειγμα αν η η ροή του γεμίσματος ήταν γενικά της μορφής:
όπου ο συνολικός χρόνος γεμίσματος του δοχείου - σφαίρας
αυτής με ακτίνα .
Ψάχνω να βρώ μια τέτοια συνάρτηση, ώστε να προκύπτει ένα όμορφο σχήμα.
Κώστας Δόρτσιος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες