Γινόμενο τριγωνομετρικών

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\cot 36^\circ \cdot \cot 72^\circ = \frac{\sqrt{5}}{5}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 14, 2018 5:15 pm
Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\cot 36^\circ \cdot \cot 72^\circ = \frac{\sqrt{5}}{5}}$

$\displaystyle \cot {36^0}\cot {72^0} = \cot {36^0}\frac{{2{{\cot }^2}{{36}^0} - 1}}{{2\cot {{36}^0}}} = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\frac{{\cos {{36}^0}}}{{\sin {{36}^0}}}} \right)}^2} - 1} \right] = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}} \right)}^2} - 1} \right] =$

$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{{4(\sqrt 5 - 1)}}{{2(5 - \sqrt 5 )}} = \frac{{(\sqrt 5 - 1)(5 + \sqrt 5 )}}{{20}} = \frac{{4\sqrt 5 }}{{20}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 14, 2018 5:15 pm
Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\cot 36^\circ \cdot \cot 72^\circ = \frac{\sqrt{5}}{5}}$

$\displaystyle A = \cot 36 \cdot \cot 72 \Rightarrow A + 1 = \frac{{\cos 36 \cdot \cos 72 + \sin 36 \cdot \sin 72}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} = \frac{{\cos 36}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} \Rightarrow \boxed{\cos 72 = \frac{A}{{A + 1}}}$

$\displaystyle A - 1 = \frac{{\cos 36 \cdot \cos 72 - \sin 36 \cdot \sin 72}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} = \frac{{\cos 108}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} = - \frac{{\cos 72}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} \Rightarrow \boxed{\cos 36 = \frac{A}{{1 - A}}}$

$\displaystyle \cos 72 = 2{\cos ^2}36 - 1 \Rightarrow \frac{A}{{A + 1}} = 2{\left( {\frac{A}{{1 - A}}} \right)^2} - 1 \Rightarrow 5{A^2} = 1 \Rightarrow \boxed{A = \frac{{\sqrt 5 }}{5}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Χωρίς λόγια..

https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonome ... l_radicals

Tolaso J Kos · #5

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 12:07 am

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 14, 2018 5:15 pm
Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\cot 36^\circ \cdot \cot 72^\circ = \frac{\sqrt{5}}{5}}$

$\displaystyle A = \cot 36 \cdot \cot 72 \Rightarrow A + 1 = \frac{{\cos 36 \cdot \cos 72 + \sin 36 \cdot \sin 72}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} = \frac{{\cos 36}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} \Rightarrow \boxed{\cos 72 = \frac{A}{{A + 1}}}$

$\displaystyle A - 1 = \frac{{\cos 36 \cdot \cos 72 - \sin 36 \cdot \sin 72}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} = \frac{{\cos 108}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} = - \frac{{\cos 72}}{{\sin 36 \cdot \sin 72}} \Rightarrow \boxed{\cos 36 = \frac{A}{{1 - A}}}$

$\displaystyle \cos 72 = 2{\cos ^2}36 - 1 \Rightarrow \frac{A}{{A + 1}} = 2{\left( {\frac{A}{{1 - A}}} \right)^2} - 1 \Rightarrow 5{A^2} = 1 \Rightarrow \boxed{A = \frac{{\sqrt 5 }}{5}}$

Καταπληκτική λύση.

Γινόμενο τριγωνομετρικών

Γινόμενο τριγωνομετρικών

Re: Γινόμενο τριγωνομετρικών

Re: Γινόμενο τριγωνομετρικών

Re: Γινόμενο τριγωνομετρικών

Re: Γινόμενο τριγωνομετρικών

Μέλη σε σύνδεση