Τριγωνομετρικό γινόμενο

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4493
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Τριγωνομετρικό γινόμενο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιούλ 29, 2018 3:01 pm

Να υπολογιστεί το γινόμενο:

\displaystyle{\Pi = \prod_{m=1}^{n-1} \left ( 2 \sin \frac{m \pi}{n} \right )^m }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12990
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τριγωνομετρικό γινόμενο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιούλ 29, 2018 7:56 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Ιούλ 29, 2018 3:01 pm
Να υπολογιστεί το γινόμενο:

\displaystyle{\Pi = \prod_{m=1}^{n-1} \left ( 2 \sin \frac{m \pi}{n} \right )^m }
Γράφοντας το γινόμενο ανάποδα, από το τέλος προς την αρχή, και με χρήση του \displaystyle{\sin \frac{m \pi}{n}= \sin \frac{(n-m) \pi}{n}} έχουμε

\displaystyle{\Pi ^2= \prod_{m=1}^{n-1} \left ( 2 \sin \frac{m \pi}{n} \right )^m }  \cdot \prod_{m=1}^{n-1} \left ( 2 \sin \frac{m \pi}{n} \right )^{n-m} = \prod_{m=1}^{n-1} \left ( 2 \sin \frac{m \pi}{n} \right )^n }= }

\displaystyle{= 2^{n(n-1)} \left ( \prod_{m=1}^{n-1}  \sin \frac{m \pi}{n} \right )^n  }

Τώρα, με χρήση του γνωστού τύπου (βλέπε εδώ)

  \displaystyle{ \prod_{k=1}^{n-1} \sin \dfrac{k\pi}{n}   = \frac {n}{2^{n-1}} έχουμε

\displaystyle{\Pi ^2= n^n } και άρα \displaystyle{ \Pi = \sqrt {n^n}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης