Τριγωνομετρικό γινόμενο

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το γινόμενο:

$\displaystyle{\Pi = \prod_{m=1}^{n-1} \left ( 2 \sin \frac{m \pi}{n} \right )^m }$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 29, 2018 3:01 pm
Να υπολογιστεί το γινόμενο:

$\displaystyle{\Pi = \prod_{m=1}^{n-1} \left ( 2 \sin \frac{m \pi}{n} \right )^m }$

Γράφοντας το γινόμενο ανάποδα, από το τέλος προς την αρχή, και με χρήση του $\displaystyle{\sin \frac{m \pi}{n}= \sin \frac{(n-m) \pi}{n}}$ έχουμε

$\displaystyle{\Pi ^2= \prod_{m=1}^{n-1} \left ( 2 \sin \frac{m \pi}{n} \right )^m } \cdot \prod_{m=1}^{n-1} \left ( 2 \sin \frac{m \pi}{n} \right )^{n-m} = \prod_{m=1}^{n-1} \left ( 2 \sin \frac{m \pi}{n} \right )^n }= }$

$\displaystyle{= 2^{n(n-1)} \left ( \prod_{m=1}^{n-1} \sin \frac{m \pi}{n} \right )^n }$

Τώρα, με χρήση του γνωστού τύπου (βλέπε εδώ)

$\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n-1} \sin \dfrac{k\pi}{n} = \frac {n}{2^{n-1}}$ έχουμε

$\displaystyle{\Pi ^2= n^n }$ και άρα $\displaystyle{ \Pi = \sqrt {n^n}$

Τριγωνομετρικό γινόμενο

Τριγωνομετρικό γινόμενο

Re: Τριγωνομετρικό γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση