Πολυώνυμο με θετικές ρίζες

#1

Έστω $\displaystyle \alpha ,{\rm{ b}}{\rm{, c}}{\rm{, d}}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε το πολυώνυμο

$\displaystyle P(x) = {x^4} - 4\alpha {x^3} + 6{b^2}{x^2} - 4{c^3}x + {d^4}$

να έχει τέσσερις διαφορετικές θετικές ρίζες.

Τότε να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle \alpha > b > c > d$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

chris_gatos έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 11, 2018 11:52 pm
Έστω $\displaystyle \alpha ,{\rm{ b}}{\rm{, c}}{\rm{, d}}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε το πολυώνυμο

$\displaystyle P(x) = {x^4} - 4\alpha {x^3} + 6{b^2}{x^2} - 4{c^3}x + {d^4}$

να έχει τέσσερις διαφορετικές θετικές ρίζες.

Τότε να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle \alpha > b > c > d$

Καταρχάς παρατηρούμε ότι όλες οι ρίζες θα είναι θετικές. Το μηδέν φανερά δεν είναι ρίζα και αρνητική δεν μπορεί να έχει

αφού στους αρνητικούς είναι P(x)>0.

Συνεπώς όλες οι $P^{(n)}(x),n=1,2,3$ θα έχουν και αυτές θετικές

ρίζες και μάλιστα ακριβώς 4-n

διακεκριμένες ρίζες. Κάνοντας πράξεις βρίσκουμε $P^{(2)}(x)=12x^2- 24ax+12b^2$

και επειδή έχει δύο διαφορετικές μεταξύ τους ρίζες θα είναι $24^2a^2-24^2b^2>0\Rightarrow a>b.$ Επίσης,

$P^{(1)}(x)=4x^3-12ax^2+12b^2x-4c^3.$ Αν x_1,x_2,x_3

είναι οι τρεις διακεκριμένες θετικές ρίζες του

$P^{(1)}(x)$ τότε από Vieta

και

παίρνουμε

$\sum x_ix_j>3\sqrt[3]{(x_1x_2x_3)^2}\Rightarrow 3b^2>3c^2\Rightarrow b>c.$ Τέλος αν

y_1,y_2,y_3,y_4

είναι οι τέσσερις διακεκριμένες θετικές ρίζες του P(x)

τότε πάλι από Vieta

και

παίρνουμε $\sum y_iy_jy_l>4\sqrt[4]{(y_1y_2y_3y_4)^3}\Rightarrow 4c^3>4d^3\Rightarrow c>d.$

#3

chris_gatos έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 11, 2018 11:52 pm
Έστω $\displaystyle \alpha ,{\rm{ b}}{\rm{, c}}{\rm{, d}}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε το πολυώνυμο

$\displaystyle P(x) = {x^4} - 4\alpha {x^3} + 6{b^2}{x^2} - 4{c^3}x + {d^4}$

να έχει τέσσερις διαφορετικές θετικές ρίζες.

Τότε να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle \alpha > b > c > d$

Αν

οι θετικές ρίζες έχουμε από Vieta

$a= \dfrac {p+q+r+s}{4}, \, b^2= \dfrac {pq+pr+...+rs}{6}, c^3= \dfrac {pqr+...+qrs}{4},\, d^4=pqrs$ .

Παρατηρούμε από ΑΜ-ΓΜ ότι (με γνήσια ανισότητα διότι p,q,r,s

άνισα) $\dfrac {pqr+...+qrs}{4} > \sqrt [4]{p^3q^3r^3s^3}$ ή αλλιώς $c^3> \sqrt [4]{(d^4)^3}$ , που δίνει c>d

.

Όμοια οι υπόλοιπες από τις (άμεσες) ανισότητες $\left (\dfrac {p+q+r+s}{4} \right ) ^2> \dfrac {pq+pr+...+rs}{6}$ και
$\left ( \dfrac {pq+pr+...+rs}{6}\right ) ^3 > \left (\dfrac {pqr+...+qrs}{4} \right ) ^2$

Edit. Με πρόλαβαν. Το αφήνω για τον κόπο και τις μικροδιαφορές.

#4

Στην πραγματικότητα η ανισότητα που ζητάει ο Χρήστος είναι η ανισότητα Maclaurin για n=4

(ή αλλιώς symmetric mean inequality)

$\begin{aligned}\dfrac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4} &\geq \sqrt{\dfrac{a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4+a_2a_3+a_2a_4+a_3a_4}{6}} \\ &\geq \sqrt[3]{\dfrac{a_1a_2a_3+a_1a_2a_4+a_1a_3a_4+a_2a_3a_4}{4}} \\ &\geq \sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}\end{aligned}$

με την ισότητα να ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις αν και μόνο αν a_1=a_2=a_3=a_4

.

Περισσότερα εδώ.

Αλέξανδρος

Πολυώνυμο με θετικές ρίζες

Πολυώνυμο με θετικές ρίζες

Re: Πολυώνυμο με θετικές ρίζες

Re: Πολυώνυμο με θετικές ρίζες

Re: Πολυώνυμο με θετικές ρίζες

Μέλη σε σύνδεση