Ύπαρχουν τέτοια x ;

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6765
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Ύπαρχουν τέτοια x ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Σεπ 13, 2018 11:20 pm

Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί \displaystyle x τέτοιοι ώστε να ισχύει:

\displaystyle \tan \left( {2x} \right) \cdot \cot \left( {3x} \right) \in \left( {\frac{2}{3},9} \right) ;


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ύπαρχουν τέτοια x ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Σεπ 14, 2018 11:43 am

Όχι.

Γράφουμε \displaystyle \tan(2x) \cot(3x) = \frac{\tan (2x)}{\tan (3x)} = \frac{\sin(2x) \cos(3x)}{\cos(2x) \sin(3x)} = \frac{\sin(5x) - \sin x}{\sin(5x) + \sin x} = \frac{\frac{\sin (5x)}{\sin x} - 1}{\frac{\sin(5x)}{\sin x} + 1} (αν έχει νόημα το \cot (3x) τότε \sin x \neq 0).

Μελετώντας την συνάρτηση \displaystyle f(x) = \frac{x-1}{x+1} βλέπουμε ότι, για τις επιθυμητές τιμές, πρέπει να ισχύει \displaystyle \frac{\sin (5x)}{\sin x} \in (- \infty, -5/4) \cup (5, + \infty).

Αλλά \displaystyle \frac{\sin (5x)}{\sin x} = 16 \cos^4 x - 12 \cos^2 x + 1. Το πολυώνυμο έχει ελάχιστη τιμή για \cos^2 x = 3/8 το -5/4 και έτσι αποκλείεται το πρώτο διάστημα. Μεγιστοποιείται για \cos^2 x = 1 με τιμή 5, και έτσι αποκλείεται και το δεύτερο διάστημα.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6099
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ύπαρχουν τέτοια x ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Σεπ 14, 2018 11:58 am

Μιλάμε για \displaystyle{\cos 2x\sin 3x\ne 0} και αρκεί να δουλέψουμε στο \displaystyle{(0,\pi).}

Αν \displaystyle{\cos 3x=0,} είναι \displaystyle{f(x)=0.}

Αλλιώς είναι

\displaystyle{f(x)=\frac{\tan 2x}{\tan 3x}=2\frac{1-3\tan ^2x}{(1-\tan ^2x)(3-\tan ^2x)},}

οπότε αρκεί να δούμε τι τιμές λαμβάνει η παράσταση

\displaystyle{K:=2\frac{1-3t}{(1-t)(3-t)}, ~t>0.}

Είναι

\displaystyle{K'=2\frac{(t+1)(3t-5)}{(t-1)^2(t-3)^2}}

και με τη γνωστή διαδικασία βρίσκουμε \displaystyle{K\geq 9 \vee K\leq \frac{2}{3}.}


Μάγκος Θάνος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10429
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ύπαρχουν τέτοια x ;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Σεπ 14, 2018 12:59 pm

Επειδή η παράσταση είναι περιοδική με περίοδο \pi μπορούμε να εργαστούμε μόνο στο [0, \pi]. Το πεδίο ορισμού είναι ξένη ένωση διαστημάτων (άμεσο).

Εργαζόμαστε αρχικά στο "πρώτο" από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού, που είναι το \left ( 0, \frac {\pi}{6} \right ) .

Θέτουμε f(x) = 3\tan (2x)-2\tan (3x). Ικανοποιεί  f'(x)= 6 (\tan^2 (2x)+1)- 6 (\tan^2 (3x)+1)=  6 (\tan^2 (2x)- \tan^2 (3x)) <0 (διότι tan αύξουσα και θετική). Άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο παραπάνω διάστημα. Αφού για x\to 0+ έχουμε f(x)\to 0 έπεται  3\tan (2x)-2\tan (3x)<0 και άρα  \tan \left( {2x} \right) \cdot \cot \left( {3x}) < \frac {2}{3}. Δηλαδή μένει έξω από το δοθέν διάστημα.

Όμοια τα υπόλοιπα: Τα κοίταξα μόνο πρόχειρα και δεν βλέπω να κολλάει πουθενά. Π.χ. στο \left (\frac {\pi}{4}, \, \frac {\pi}{3} \right ) η δοθείσα είναι \ge 9. Το αφήνω για να μην μπω στον κόπο της πληκτρολόγησης...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης