Θετικοί ακέραιοι και εφαπτομένη

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8767
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Θετικοί ακέραιοι και εφαπτομένη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 06, 2018 5:48 pm

Να βρείτε τους θετικούς και ακέραιους αριθμούς a,b που ικανοποιούν τη σχέση \displaystyle {\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{{ab}}} \right) = \frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }}



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θετικοί ακέραιοι και εφαπτομένη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Οκτ 07, 2018 4:06 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Οκτ 06, 2018 5:48 pm
Να βρείτε τους θετικούς και ακέραιους αριθμούς a,b που ικανοποιούν τη σχέση \displaystyle {\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{{ab}}} \right) = \frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }}
Απάντηση: (a,b)=(4,3) ή (a,b)=(4,2).

Έχουμε a > b και

\displaystyle{\frac {\pi^2}{a^2b^2}\ge \sin ^2 \frac {\pi}{ab} = \frac {\tan ^2 \dfrac {\pi}{ab}  }{\tan ^2 \dfrac {\pi}{ab} +1}  =\frac {\dfrac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }}}{\dfrac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }}+1}  = \dfrac {a-b}{2\sqrt a (\sqrt a + \sqrt b)}\ge \dfrac {a-b}{2\sqrt a (\sqrt a + \sqrt a)}=  \dfrac {a-b}{4 a }}

Άρα 4\pi ^2\ge ab^2(a-b) \, (*). Οπότε 4\pi ^2\ge b \cdot b^2\cdot 1 και άρα (δεδομένου ότι 4\pi ^2 <40) έχουμε b\le 3. Εξετάζουμε τώρα χωριστά τις περιπτώσεις b=1 και 2 \le b \le 3.

Αν b=1 η (*) δίνει 4\pi ^2\ge  a(a-1) οπότε a\le 6. Ελέγχουμε τώρα από έτοιμους τύπους για τα \tan  \dfrac {\pi}{1} ,  \tan  \dfrac {\pi}{2} ,  \tan  \dfrac {\pi}{3} , \, ... , \,  \tan  \dfrac {\pi}{6} ότι δεν ισχύει η δοθείσα (εννοείται, π.χ., ότι για a=2 δεν έχει καν νόημα το   \tan  \dfrac {\pi}{2}) . Άρα η περίπτωση b=1 απορρίπτεται.

Αν 2\le b \le 3 η (*) δίνει 4\pi ^2\ge  a\cdot 4 \cdot (a-3) οπότε a\le 4. Δηλαδή οι εκδοχές που έχουμε είναι (a,b) ίσον ένα από τα
(4,3), \, (4,2), \, (3,2). Από αυτές μόνο οι δύο πρώτες δίνουν λύση.

Άλλωστε με κομπιουτεράκι επιβεβαίωσα \displaystyle {\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{{4\cdot 3}}} \right) \approx  0,07179 \approx \frac{{\sqrt 4  - \sqrt 3 }}{{\sqrt 4  + \sqrt 3 }} και \displaystyle {\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{{4\cdot 2}}} \right) \approx  0,17157 \approx \frac{{\sqrt 4  - \sqrt 2 }}{{\sqrt 4  + \sqrt 2 }} .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης