Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών τριγώνου

#1

Σε ένα τρίγωνο $\displaystyle ABC$ ισχύει $\displaystyle \sin A = 10\sin B\sin C,{\rm{ cosA = 10cosBcosC}}$ .

Να υπολογίσετε την $\displaystyle \tan A$

#2

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 06, 2018 9:10 pm
Σε ένα τρίγωνο $\displaystyle ABC$ ισχύει $\displaystyle \sin A = 10\sin B\sin C,{\rm{ cosA = 10cosBcosC}}$ .

Να υπολογίσετε την $\displaystyle \tan A$

$\displaystyle \cos A - \sin A = 10\cos B\cos C - 10\sin B\sin C=10 \cos (B+C) = 10 \cos (180-A)=-10\cos A$ .

Άρα $\sin A = 11\cos A$ , οπότε $\displaystyle{\tan A = 11}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 06, 2018 9:10 pm
Σε ένα τρίγωνο $\displaystyle ABC$ ισχύει $\displaystyle \sin A = 10\sin B\sin C,{\rm{ cosA = 10cosBcosC}}$ .

Να υπολογίσετε την $\displaystyle \tan A$

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 06, 2018 9:21 pm

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 06, 2018 9:10 pm
Σε ένα τρίγωνο $\displaystyle ABC$ ισχύει $\displaystyle \sin A = 10\sin B\sin C,{\rm{ cosA = 10cosBcosC}}$ .

Να υπολογίσετε την $\displaystyle \tan A$
$\displaystyle \cos A - \sin A = 10\cos B\cos C - 10\sin B\sin C=10 \cos (B+C) = 10 \cos (180-A)=-10\cos A$ .

Άρα $\sin A = 11\cos A$ , οπότε $\displaystyle{\tan A = 11}$

Κάτι δεν πάει καλά.

Για να δούμε.

Αν μία γωνία είναι

τότε από την δεύτερη σχέση θα είναι και ακόμα μία που δεν γίνεται.

Διαιρώντας τις δύο σχέσεις παίρνουμε ότι

$\tan A=10\tan B\tan C$ (1)

προφανώς η (1) είναι λάθος

η σωστή είναι $\tan A=\tan B\tan C$

Εχουμε

$10\cos B\cos C=\cos A=\cos (180-(B+C))=-\cos (B+C)=-\cos B\cos C+\sin B\sin C$

Δηλαδή

$11\cos B\cos C=\sin B\sin C$

Αρα

$\tan B\tan C=11$

Η τελευταία μαζί με την (1) δίνει

$\tan A=10.11=110$ !!!!!

Με την σωστή (1) δίνει

$\tan A=11$

Αρα όλα είναι εντάξει.

Ευχαριστώ τον Δημήτρη για την επισήμανση.

#4

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 06, 2018 9:10 pm
Σε ένα τρίγωνο $\displaystyle ABC$ ισχύει $\displaystyle \sin A = 10\sin B\sin C,{\rm{ cosA = 10cosBcosC}}$ .

Να υπολογίσετε την $\displaystyle \tan A$

.
Και εγώ νομίζω ότι είναι εντάξει το θέμα αλλά αξίζει να δούμε ότι πράγματι υπάρχει τρίγωνο με τα παραπάνω δεδομένα.

Από το $\tan A = 11$ έπεται $\sin A = \frac {11}{\sqrt {122} } , \, \cos A = \frac {1}{\sqrt {122} }$

Έτσι $\frac {1}{\sqrt {122} }-\frac {11}{\sqrt {122} } =\cos A - \sin A = 10 \cos (B+C)$ και

$\frac {1}{\sqrt {122} }+\frac {11}{\sqrt {122} } =\cos A +\sin A = 10 \cos (B-C)$

Από την $\tan A =11$ με κομπιουτεράκι είναι A=84,80

και από τις άλλες δύο είναι B+C= 95,72

και

άρα $B=89,48, \, C=6,24$ .

Δηλαδή το υποψήφιο τρίγωνο είναι το $A=84,80, \, B=89,48, \, C=6,24$ . Οι γωνίες αυτές έχουν άθροισμα (περί το) 180

. Επίσης $\sin A = 0,99 = 10 \sin B \sin C$ . Όλα καλά, λοιπόν.

Εννοείται η σωστή επαλήθευση είναι με χρήση των $\arctan$ και λοιπά, και τις ταυτότητες που ικανοποιούν. Δεν φαίνεται δύσκολο, αλλά δεν το έκανα αφού το κομπιουτεράκι μας λέει ότι μέσες άκρες όλα είναι καλά.

Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών τριγώνου

Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών τριγώνου

Re: Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών τριγώνου

Re: Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών τριγώνου

Re: Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση