Μέγιστο γινομένου
Συντονιστής: chris_gatos
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Μέγιστο γινομένου
Έστω και η γραμμική συνάρτηση
για την οποία ισχύει .
Ποια είναι τότε η μέγιστη τιμή του γινομένου ;
για την οποία ισχύει .
Ποια είναι τότε η μέγιστη τιμή του γινομένου ;
Χρήστος Κυριαζής
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μέγιστο γινομένου
H δίνει . Άρα .chris_gatos έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 06, 2018 10:21 pmΈστω και η γραμμική συνάρτηση
για την οποία ισχύει .
Ποια είναι τότε η μέγιστη τιμή του γινομένου ;
Τα της που βέβαια ικανοποιεί την συνθήκη διότι
, δίνουν
ισότητα . Με άλλα λόγια η μέγιστη τιμή του γινομένου είναι .
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Μέγιστο γινομένου
Καλησπέρα σε όλους. Μια διαφορετική και μακροσκελέστερη αντιμετώπιση απ' αυτήν του Μιχάλη, τον οποίον και ευχαριστώ για τη διακριτική υπόδειξή του σε προηγούμενη ημιτελή προσέγγισή μου, την οποίαν απέσυρα.
Αν ή , τότε .
Aν ετερόσημοι τότε .
Έστω . Τότε η συνθήκη της υποθέσεως γίνεται (1).
Για είναι .
Οπότε, είναι .
Για να ισχύει η (1) πρέπει και αρκεί . Όταν το άθροισμα ισούται με το μέγιστο δυνατό, που είναι , το γινόμενο παίρνει τη μέγιστη τιμή του, όταν , οπότε το μέγιστο του γινομένου τους ισούται με .
Έστω . Τότε η συνθήκη της υποθέσεως γίνεται (2).
Για είναι .
Οπότε, είναι .
Για να ισχύει η (2) πρέπει και αρκεί . Όταν το άθροισμα των θετικών αριθμών ισούται με το μέγιστο δυνατό, που είναι , το γινόμενο παίρνει τη μέγιστη τιμή του, όταν , οπότε το μέγιστο του γινομένου τους ισούται με .
Αν ή , τότε .
Aν ετερόσημοι τότε .
Έστω . Τότε η συνθήκη της υποθέσεως γίνεται (1).
Για είναι .
Οπότε, είναι .
Για να ισχύει η (1) πρέπει και αρκεί . Όταν το άθροισμα ισούται με το μέγιστο δυνατό, που είναι , το γινόμενο παίρνει τη μέγιστη τιμή του, όταν , οπότε το μέγιστο του γινομένου τους ισούται με .
Έστω . Τότε η συνθήκη της υποθέσεως γίνεται (2).
Για είναι .
Οπότε, είναι .
Για να ισχύει η (2) πρέπει και αρκεί . Όταν το άθροισμα των θετικών αριθμών ισούται με το μέγιστο δυνατό, που είναι , το γινόμενο παίρνει τη μέγιστη τιμή του, όταν , οπότε το μέγιστο του γινομένου τους ισούται με .
-
- Δημοσιεύσεις: 59
- Εγγραφή: Τρί Απρ 26, 2011 1:58 am
Re: Μέγιστο γινομένου
Και μια διαφορετική προσέγγιση, για ...πλουραλισμό:
Θεωρούμε τα διανύσματα και οπότε
Άρα
αφού η μέγιστη τιμή του είναι , όταν .
Επειδή αρκεί .
Η ισότητα επιτυγχάνεται για που ικανοποιούν τη συνθήκη
άρα
άρα με την ισότητα για
Άρα η μέγιστη τιμή του είναι (αν δεν έκανα κάποιο άλμα...)
Θεωρούμε τα διανύσματα και οπότε
Άρα
αφού η μέγιστη τιμή του είναι , όταν .
Επειδή αρκεί .
Η ισότητα επιτυγχάνεται για που ικανοποιούν τη συνθήκη
άρα
άρα με την ισότητα για
Άρα η μέγιστη τιμή του είναι (αν δεν έκανα κάποιο άλμα...)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μέγιστο γινομένου
Κάτι δεν μου πάει καλά με το παραπάνω βήμα. Πρώτα απ' όλα δεν είναι συντακτικά σωστό: Αν πούμε "επειδή" μετά πρέπει να πούμε "έπεται" και όχι "αρκεί".
Όπως και να είναι, με την συνθήκη χάνουμε συναρτήσεις με . Τέτοια είναι η . Για να πεισθούμε ότι ικανοποιείται η δεν έχουμε παρά να κοιτάξουμε το γράφημά της (απλό). Όμως εδώ .
Θέλω να πω: Η μέθοδος βρίσκει το μέγιστο εκείνων των με . Όμως υπάρχουν και άλλες που ικανοποιούν τα δεδομένα της εκφώνησης, οπότε το μέγιστο μπορεί να αυξηθεί.
-
- Δημοσιεύσεις: 59
- Εγγραφή: Τρί Απρ 26, 2011 1:58 am
Re: Μέγιστο γινομένου
Τελικά έγινε άλμα ...επι κοντώ. Μικρός δεν ήμουνα καλός. Τώρα που μεγάλωσα βλέπω ότι βελτιώθηκα...
Αν μπορεί κάποιος να άρει το άλμα ας το κάνει , αν όχι ας αφαιρέσει παρακαλώ τη λύση ...
Αν μπορεί κάποιος να άρει το άλμα ας το κάνει , αν όχι ας αφαιρέσει παρακαλώ τη λύση ...
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Μέγιστο γινομένου
Καλημέρα σε όλους. Έκανα μια προσπάθεια να παρέμβω στην λύση του Κώστα, αλλά δεν μπορώ να "σώσω την παρτίδα", όπως έλεγε ο αξέχαστος φίλος Λεωνίδας.Μπουμπουλής Κώστας έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 09, 2018 1:00 amΑν μπορεί κάποιος να άρει το άλμα ας το κάνει , αν όχι ας αφαιρέσει παρακαλώ τη λύση ...
Θεωρούμε τα διανύσματα και οπότε .
Άρα (1) , αφού η μέγιστη τιμή του είναι , όταν .
(Στην ίδια ανισότητα (1) θα καταλήγαμε απευθείας με τη χρήση της ανισότητας Cauchy
).
Η συνθήκη γράφεται (2), αφού .
Εδώ έχουμε δύο ανισότητες ομόρροπες, που δεν μπορούν να συνδυαστούν με τη μεταβατική ιδιότητα.
Προφανώς ισχύει
, για κάθε .
με την ισότητα να επιτυγχάνεται όταν .
Τότε , άρα η μέγιστη δυνατή τιμή του είναι το , οπότε και το μέγιστο δυνατό γινόμενο είναι .
Όμως, με βάση ποια συνθήκη της εκφώνησης θα απαιτήσουμε να ισχύει η ισότητα, που δίνει το (εκ των προτέρων γνωστό) μέγιστο;
Νομίζω ότι η διαδρομή του Μιχάλη, που έθεσε αρχικά στη συνθήκη της υπόθεσης είναι η βέλτιστη.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Μέγιστο γινομένου
Αρκεί να βρούμε το μέγιστο τουchris_gatos έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 06, 2018 10:21 pmΈστω και η γραμμική συνάρτηση
για την οποία ισχύει .
Ποια είναι τότε η μέγιστη τιμή του γινομένου ;
Τότε, για κάθε Αρκεί λοιπόν να βρούμε το , όταν αφού άρα αρκεί να βρούμε το όταν έτσι καταλήγουμε στην οπότε και αυτό γίνεται όταν Η επαλήθευση είναι εύκολη.
edit: Αντικατέστησα την προηγούμενη ανάρτηση μου με αυτήν που είναι πιό αυστηρή.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μέγιστο γινομένου
Ας γράψω και εγώ μια εκτός φακέλου.
Ειναι φανερό ότι η συνθήκη του προβλήματος ισχύει αν και μόνο αν
Αν κάνουμε ένα σχήμα θα δούμε ότι τα βόσκουν σε ένα τετράγωνο
με κορυφές τα σημεία
Μεσα σε αυτό θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε το
Παίρνοντας μερικές παραγώγους βλέπουμε ότι δεν μεγιστοποιειται στο εσωτερικό.
Αρα η μεγιστοποίηση θα γίνει όταν η
(στις άλλες πλευρές είναι αρνητικό)
Από την
με ισότητα για παίρνουμε το ζητούμενο.
Ειναι φανερό ότι η συνθήκη του προβλήματος ισχύει αν και μόνο αν
Αν κάνουμε ένα σχήμα θα δούμε ότι τα βόσκουν σε ένα τετράγωνο
με κορυφές τα σημεία
Μεσα σε αυτό θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε το
Παίρνοντας μερικές παραγώγους βλέπουμε ότι δεν μεγιστοποιειται στο εσωτερικό.
Αρα η μεγιστοποίηση θα γίνει όταν η
(στις άλλες πλευρές είναι αρνητικό)
Από την
με ισότητα για παίρνουμε το ζητούμενο.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μέγιστο γινομένου
Ακόμη μία απόδειξη. Ας γράψω και . Τότε
με ισότητα αν και μόνο αν και . Μένει να κάνουμε τον απλό έλεγχο ότι η ικανοποιεί τις συνθήκες.
με ισότητα αν και μόνο αν και . Μένει να κάνουμε τον απλό έλεγχο ότι η ικανοποιεί τις συνθήκες.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Μέγιστο γινομένου
chris_gatos έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 06, 2018 10:21 pmΈστω και η γραμμική συνάρτηση
για την οποία ισχύει .
Ποια είναι τότε η μέγιστη τιμή του γινομένου ;
Σε συζήτηση που είχαμε προ ημερών με τον φίλο μου Γιώργο Τασσόπουλο του ανέφερα το ενδιαφέρον θέμα περί μεγίστου γινομένου που πρότεινε ο συνάδελφος Χρήστος Κυριαζής και έδωσε τη λύση που ακολουθεί:
Λύση: (από τον Γιώργο Σ. Τασσόπουλο)
Έχουμε:
Αν μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας, να υποθέσουμε αφού
Τότε:
Αφού η ισχύει για κάθε θα έχουμε:
και
Όμως: με το ισον για Προφανώς τότε
Τέλος για έχουμε Άρα
Ερώτηση: Προφανώς:
Άραγε είναι αυτό αρκετό; Περιέργως: κλπ.(!!)
(*) Συμπληρώθηκαν τα παρακάτω που το \tex στο κείμενο τα είχε "φάει":
,
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης