Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6820
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Δεκ 08, 2018 8:38 pm

Να βρείτε τις μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

\displaystyle {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 7


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11469
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 08, 2018 9:03 pm

chris_gatos έγραψε:
Σάβ Δεκ 08, 2018 8:38 pm
Να βρείτε τις μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

\displaystyle {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 7
Για να τις καταγράψουμε όλες ως διατεταγμένες τετράδες, αν και απλό, είναι επίπονο: Υπάρχουν 56 περιπτώσεις.

Θα αντιπρότεινα: Δείξτε με απλό συλλογισμό ότι υπάρχουν 56 περιπτώσεις.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6820
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Δεκ 08, 2018 9:06 pm

Το λάθος είναι δικό μου Μιχάλη.
Ήθελα να γράψω "βρείτε πόσες είναι οι μη αρνητικές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης".
Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία.


Χρήστος Κυριαζής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11469
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 08, 2018 9:24 pm

chris_gatos έγραψε:
Σάβ Δεκ 08, 2018 9:06 pm
Το λάθος είναι δικό μου Μιχάλη.
Ήθελα να γράψω "βρείτε πόσες είναι οι μη αρνητικές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης".
Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία.
Χρήστο, κανένα πρόβλημα.

Πρόκειται για πολλή ενδιαφέρουσα μέθοδο καταμέτρησης. Την αφήνω για να την σκεφθούν όσοι δεν την
γνωρίζουν ήδη.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Δεκ 09, 2018 12:27 am

Υπάρχουν αρκετές λύσεις.

Λόγω φακέλου θα πρότεινα την εξης.

Ο ζητούμενος αριθμός είναι ο συντελεστής του x^{7}

στο γινόμενο (1+x+x^{2}+...)(1+x+x^{2}+...)(1+x+x^{2}+...)(1+x+x^{2}+...)=(1-x)^{-4}

Αλλά (1-x)^{-4}=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\binom{-4}{k}x^{k}

(γενικευμένο διωνυμικό ανάπτυγμα)

Αλλά (-1)^{7}\binom{-4}{7}=(-1)^{7}\frac{(-4)(-4-1)(-4-2)(-4-3)....(-4-6)}{7!}=\frac{4.5.6...10}{1.2...7}=120

Αρα ο ζητούμενος αριθμός είναι 120


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11469
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 09, 2018 1:35 am

Ο τρόπος που είχα στον νου:

Τοποθετούμε 7 πέτρες στην σειρά. Μετά βάζουμε διαδοχικά τρία ξυλάκια ως χωρίσματα, όπως στα παραδείγματα στα σχήματα. Τέλος μετράμε τις πέτρες ανάμεσα σε διαδοχικά ξυλάκια (για το αριστερότερο μετράμε τις πέτρες που είναι αριστερά του, και ανάλογα για το δεξιότερο). Π.χ. στην πρώτη εικόνα είναι 1,1,3,2. Έχουμε λοιπόν την διαμέριση 1+1+3+2=7 του 7. Σε μερικές περιπτώσεις μπορεί να είναι 0 οι πέτρες ανάμεσα στα ξυλάκια. Τα παραδείγματα δείχνουν διάφορα σενάρια. Κάθε διαμέριση προκύπτει από αυτό τον τρόπο και αντίστροφα.

Πόσες διαμερίσεις έχουμε; Όσοι οι τρόποι να τοποθετήσουμε τα ξυλάκια. Συγκεκριμένα, το πρώτο μπαίνει σε 8 θέσεις (αριστερά όλων, δεξιά όλων ή στα 6 ενδιάμεσα). Τώρα δημιουργούνται 9 θέσεις για το δεύτερο ξυλάκι (επειδή έχουμε 7 πέτρες και το πρώτο ξυλάκι). Το τρίτο μπαίνει σε 10 θέσεις. Σύνολο τρόπων 8\times 9 \times 10. Πρέπει όμως να διαιρέσουμε με τις διπλομετρήσεις που είναι 3!, όσο δηλαδή η αναδιάταξη των χωρισμάτων μεταξύ τους. Τελική απάντηση \displaystyle{\frac {8\times 9 \times 10}{3!}=120.}

(όχι 56 που έγραψα εκ παραδρομής αρχικά).
Συνημμένα
partition 7.png
partition 7.png (5.71 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11469
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 09, 2018 9:20 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 09, 2018 1:35 am
Πόσες διαμερίσεις έχουμε; Όσοι οι τρόποι να τοποθετήσουμε τα ξυλάκια. Συγκεκριμένα, το πρώτο μπαίνει ...
Ένας ευκολότερος τρόπος να μετρήσουμε είναι ο εξής: Θεωρούμε 7+3=10 κουτάκια στην σειρά, όσα οι πέτρες και τα ξυλάκια. Οι πέτρες μπαίνουν σε
\displaystyle{ \binom{10}{7}=120 } θέσεις, Τελειώσαμε.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8237
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Δεκ 09, 2018 12:11 pm

Θεωρώ ότι η συγκεκριμένη μέθοδος θα έπρεπε να είναι πιο γνωστή στους μαθητές από ότι πραγματικά είναι. Όταν διδάσκουμε διατάξεις, συνδυασμούς, μεταθέσεις, θα έπρεπε να διδάσκεται και αυτό.

Το είχα βάλει πέρσι και στο πρόβλημα της εβδομάδας.

Για κάτι αρκετά πιο δύσκολο δείτε και αυτό.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 507
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Δεκ 09, 2018 12:40 pm

Ουσιαστικά μιλάμε για επαναληπτικές διατάξεις οι οποίες βρίσκουν εφαρμογή στη συγκεκριμένο πρόβλημα των μη αρνητικών ακέραιων λύσεων γραμμικής εξίσωση.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6820
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Δεκ 10, 2018 6:53 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 09, 2018 9:20 am
Ένας ευκολότερος τρόπος να μετρήσουμε είναι ο εξής: Θεωρούμε 7+3=10 κουτάκια στην σειρά, όσα οι πέτρες και τα ξυλάκια. Οι πέτρες μπαίνουν σε
\displaystyle{ \binom{10}{7}=120 } θέσεις, Τελειώσαμε.
Καλησπέρα και σας ευχαριστώ όλους για τη συνδρομή σας!
Αυτόν τον τρόπο είχα υπόψη μου με πέτρες και ξυλάκια, όπως του Μιχάλη.
Demetres έγραψε:
Κυρ Δεκ 09, 2018 12:11 pm
Θεωρώ ότι η συγκεκριμένη μέθοδος θα έπρεπε να είναι πιο γνωστή στους μαθητές από ότι πραγματικά είναι. Όταν διδάσκουμε διατάξεις, συνδυασμούς, μεταθέσεις, θα έπρεπε να διδάσκεται και αυτό.
Δημήτρη συμφωνώ μαζί σου όμως οι Έλληνες μαθητές δε διδάσκονται πλέον ΠΟΥΘΕΝΑ τέτοια μαθηματικά στην πορεία τους στο δημόσιο σχολείο
και εμείς οι καθηγητές τείνουμε να τα ...ξεχάσουμε. Δυστυχώς αυτή είναι η πικρή αλήθεια.

Καλό βράδυ σε όλους!


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες