Μια εξίσωση με λογάριθμους.

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6891
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Μια εξίσωση με λογάριθμους.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Δεκ 10, 2018 7:08 pm

Έστω \displaystyle \alpha ,{\rm{ b}} θετικοί πραγματικοί αριθμοί, μεγαλύτεροι του \displaystyle 1 και τέτοιοι ώστε \displaystyle \alpha  + {\rm{b = 10}}.
Να λύσετε την εξίσωση:
\displaystyle {\left( {{\alpha ^{\log x}} + b} \right)^{\log \alpha }} = x - b


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5534
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μια εξίσωση με λογάριθμους.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Δεκ 10, 2018 9:26 pm

Πάντως η x=10 είναι μία λύση και είναι η μοναδική αφού η αντίστοιχη συνάρτηση (όλα στο πρώτο μέλος ...) είναι 1-1.
Χωρίς βέβαια να ξεχνάμε ότι {a^{\log x}} = {x^{\log a}}.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12674
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μια εξίσωση με λογάριθμους.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 12, 2018 9:22 am

Επαναφορά.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1917
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Μια εξίσωση με λογάριθμους.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Δεκ 12, 2018 11:43 am

chris_gatos έγραψε:
Δευ Δεκ 10, 2018 7:08 pm
Έστω \displaystyle \alpha ,{\rm{ b}} θετικοί πραγματικοί αριθμοί, μεγαλύτεροι του \displaystyle 1 και τέτοιοι ώστε \displaystyle \alpha  + {\rm{b = 10}}.
Να λύσετε την εξίσωση:
\displaystyle {\left( {{\alpha ^{\log x}} + b} \right)^{\log \alpha }} = x - b
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=x^{loga}+b.

Αυτή είναι γνήσια αύξουσα και κοίλη με αρχή το σημείο (0,b), οπότε τέμνει την y=x σε μοναδικό σημείο. (Αυτό θέλει απόδειξη). Το σημείο τομής είναι το (10,10).

Η εξίσωση γράφεται f(f(x))=x και κατά τα γνωστά είναι ισοδύναμη με την f(x)=x που την λύσαμε παραπάνω.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης