Μια εξίσωση με λογάριθμους.

#1

Έστω $\displaystyle \alpha ,{\rm{ b}}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, μεγαλύτεροι του $\displaystyle 1$ και τέτοιοι ώστε $\displaystyle \alpha + {\rm{b = 10}}$ .
Να λύσετε την εξίσωση:
$\displaystyle {\left( {{\alpha ^{\log x}} + b} \right)^{\log \alpha }} = x - b$

S.E.Louridas · #2

Πάντως η

είναι μία λύση και είναι η μοναδική αφού η αντίστοιχη συνάρτηση (όλα στο πρώτο μέλος ...) είναι 1-1.

Χωρίς βέβαια να ξεχνάμε ότι ${a^{\log x}} = {x^{\log a}}.$

#3

Επαναφορά.

#4

chris_gatos έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 10, 2018 7:08 pm
Έστω $\displaystyle \alpha ,{\rm{ b}}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, μεγαλύτεροι του $\displaystyle 1$ και τέτοιοι ώστε $\displaystyle \alpha + {\rm{b = 10}}$ .
Να λύσετε την εξίσωση:
$\displaystyle {\left( {{\alpha ^{\log x}} + b} \right)^{\log \alpha }} = x - b$

Θεωρούμε την συνάρτηση $f(x)=x^{loga}+b$ .

Αυτή είναι γνήσια αύξουσα και κοίλη με αρχή το σημείο (0,b), οπότε τέμνει την y=x

σε μοναδικό σημείο. (Αυτό θέλει απόδειξη). Το σημείο τομής είναι το (10,10).

Η εξίσωση γράφεται f(f(x))=x

και κατά τα γνωστά είναι ισοδύναμη με την f(x)=x

που την λύσαμε παραπάνω.

Μια εξίσωση με λογάριθμους.

Μια εξίσωση με λογάριθμους.

Re: Μια εξίσωση με λογάριθμους.

Re: Μια εξίσωση με λογάριθμους.

Re: Μια εξίσωση με λογάριθμους.

Μέλη σε σύνδεση