Ελάχιστη τιμή

#1

Αν οι γωνίες x,y

είναι οξείες, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης: $\displaystyle P = {\tan ^2}x + {\tan ^2}y + {\cot ^2}(x + y)$

#2

Θέτουμε

και

Τότε οι γωνίες A,B,C

είναι γωνίες τριγώνου οπότε θα ισχύει $\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1.$ Τώρα
$\displaystyle {P = {\tan ^2}x + {\tan ^2}y + {\cot ^2}(x + y)=\cot^2A+\cot^2B+\cot^2C\geq \cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1}$
Άρα η ελάχιστη τιμή είναι το

και πιάνεται όταν $\cot A=\cot B=\cot C$ ή όταν A=B=C=60^o

ή

#3

Καλησπέρα σε όλους. Μια ακόμα προσέγγιση που χρησιμοποιεί την ίδια ιδέα (στη γενικότερη μορφή της) με αυτήν του Παύλου.

Πρέπει $\displaystyle x,y \ne k\pi + \frac{\pi }{2},\;\;k \in Z$ και $\displaystyle x + y \ne \lambda \pi ,\;\;\lambda \in Z$ .

Για κάθε a,b,c

πραγματικούς αριθμούς ισχύει $a^2+b^2+c^2 \ge ab+ bc+ac$ .

Οπότε $\displaystyle P \ge \tan x \cdot \tan y + \frac{{\tan x + \tan y}}{{\tan \left( {x + y} \right)}} = \tan x \cdot \tan y + 1 - \tan x \cdot \tan y = 1$ , με την ισότητα όταν $\displaystyle \tan x = \tan y = \cot \left( {x + y} \right)$ .

Αφού x, y

οξείες γωνίες, έχουμε x=y

και $\displaystyle \tan x = \cot 2x \Leftrightarrow \cot 2x = \cot \left( {90^\circ - x} \right)$ , που δίνει $\displaystyle x = y = 30^\circ$ .

Ελάχιστη τιμή

Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση