chris_gatos έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 12, 2019 12:08 am
Να βρείτε τη μέγιστη απόσταση δύο σημείων της καμπύλης
Χρήστο καλημέρα...και μια άλλη ιδέα...
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
- Μέγιστη απόσταση 1.png (16.66 KiB) Προβλήθηκε 1984 φορές
Από τη μορφή της εξίσωσης (1) εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι η
καμπύλη
έχει ως άξονες συμμετρίας τους άξονες
καθώς και ένα κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων
.
Με δεδομένα αυτά μπορεί να υποστηρίξουμε ότι τα σημεία εκείνα
που έχουν τη μέγιστη απόσταση θα είναι πάνω σε μια "διάμετρο".
"Διάμετρο" θα λέμε εκείνη τη χορδή της καμπύλης
αυτής που διέρχεται
από το κέντρο αυτής. Αυτό δείχνεται ως εξής:
Έστω
, μια τυχαία χορδή της καμπύλης
.
Τότε από την τριγωνική ανισότητα θα είναι:
Όμως τα τμήματα
είναι μισά της αντίστοιχης "διαμέτρου" που
αυτά ορίζουν και συνεπώς θα είναι μικρότερα από εκείνη τη "διάμετρο"
η οποία θα είναι η μέγιστη.
Άρα η από την (2) προκύπτει:
Ύστερα από αυτά μένει να βρούμε ποια είναι η μέγιστη διάμετρος της
.
Αναζήτηση της μέγιστης "διαμέτρου"
Εργαζόμαστε στο δεύτερο σχήμα:
- Μέγιστη απόσταση 2.png (15.95 KiB) Προβλήθηκε 1984 φορές
Από την εξίσωση (1) έχουμε:
Έτσι θα είναι:
Αν μελετήσουμε την
ουσιαστικά μελετάμε τη μεταβολή του μεγέθους
και όλης της διαμέτρου
Είναι διαδοχικά :
Από την τελευταία μορφή εύκολα μελετάται το πρόσημο της παραγώγου και κατά συνέπεια τα ακρότατα της
.
Έτσι το μέγιστο παρατηρείται για την τιμή:
και το ελάχιστο για την τιμή
Η μέγιστη αυτή θέση της διαμέτρου εμφανίζεται στο τρίτο σχήμα:
- Μέγιστη απόσταση 3.png (20.2 KiB) Προβλήθηκε 1984 φορές
Κώστας Δόρτσιος
ΥΓ1. Τα τρία σχήματα σχεδιάστηκαν με τιμές μονάδες μήκους.
ΥΓ2. Αφού βρέθηκε η τετμηνένη της θέσης του μεγίστου εύκολα προσδιορίζεται και η τιμή του μεγίστου.
ΥΓ3. Θα μπορούσαμε να κάνουμε και ολόκληρη τη μεταβολή της διαμέτρου.