Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

#1

Για τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle a,b,c$ ισχύει:

$\displaystyle \begin{array}{l} \cos a + \cos b + \cos c = 1\\ {\mathop{\rm \sin \alpha}\nolimits} + sinb + sinc = 1 \end{array}$

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή που μπορεί να λάβει το $\displaystyle \cos a$ .

#2

Καλημέρα σε όλους. Χρησιμοποιώ τη μέθοδο "της προς στιγμήν σταθεράς", όπως την περιγράφουν οι Ιησουίτες στη γεωμετρία τους (έκδοση 1912)
και ο Γιώργος Τσαπακίδης σε άρθρο του στον Ευκλείδη Β (λ.α., τ. 2 σσ.28-32).

Θα ήθελα να δω πληροφορίες και γνώμες για τη μέθοδο αυτή.

: FGM.jpg (109.4 KiB) Προβλήθηκε 1581 φορές

: Εικόνα.jpg (86.27 KiB) Προβλήθηκε 1581 φορές

Είναι $\displaystyle \cos a = 1 - \cos b - \cos c = - \cos b + \left( {1 - \cos c} \right)$

Θεωρώντας το cosb

θετικό και «προς στιγμήν σταθερό», η ελάχιστη τιμή του cosa

προκύπτει όταν cosc=1

, οπότε είναι $\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos a + \cos b = 0}\\ {\sin a + sinb = 1} \end{array}} \right.$ ,

άρα $\displaystyle b = 2k\pi + \pi - a,\;\;k \in Z$ , οπότε η δεύτερη ισότητα γίνεται $\displaystyle \sin a = \frac{1}{2}$ ,

άρα η ελάχιστη τιμή για το cosa

είναι $\displaystyle \cos a = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ .

Οι τιμές αυτές επαληθεύουν τις αρχικές ισότητες.

Αν $cosb \le 0$ τότε $cosa \ge 0$ , οπότε δεν έχουμε ελάχιστο.

Ομοίως αν θεωρήσουμε το cosc

θετικό και σταθερό, οπότε $\displaystyle \cos a = 1 - \cos b - \cos c = - \cos c + \left( {1 - \cos b} \right)$ κ.ο.κ.

#3

Καλημέρα σε όλους. Ο Χρήστος Κυριαζής μού υπέδειξε ότι μπορεί να βρεθεί καλύτερο ελάχιστο (αυτό που δίνω παρακάτω).

Ξαναδοκίμασα το πρόβλημα και βρίσκω το εξής:

Τετραγωνίζω τις ισότητες $\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos b + \cos c = 1 - \cos a}\\ {sinb + sinc = 1 - \sin a} \end{array}} \right.$ και προσθέτω

$\displaystyle 2\left( {\cos b\cos c + \sin b\sin c} \right) + 2 = 3 - 2\left( {\sin a + \cos a} \right)$
$\displaystyle \Leftrightarrow 2\cos \left( {b - c} \right) = 1 - 2\left( {\sin a + \cos a} \right) \Leftrightarrow \sin a + \cos a = \frac{1}{2} - \cos \left( {b - c} \right)$

Αφού $\displaystyle \cos \left( {b - c} \right) \le 1$ θα είναι $\displaystyle \sin a + \cos a \ge - \frac{1}{2}$ με το ίσον όταν
$\displaystyle \sin a + \cos a = - \frac{1}{2} \Rightarrow 1 + \sin 2a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin 2a = - \frac{3}{4}$ , οπότε $\displaystyle \cos 2a = \pm \frac{{\sqrt 7 }}{4}$

Αν $\displaystyle \cos 2a = \frac{{\sqrt 7 }}{4}$ , τότε $\displaystyle cos a = \pm \sqrt {\frac{{4 + \sqrt 7 }}{8}} = \pm \frac{{\sqrt {8 + 2\sqrt 7 } }}{4} = \pm \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}$ , με το ελάχιστο όταν $\displaystyle \cos a = \frac{{ - 1 - \sqrt 7 }}{4}$ .

Αν $\displaystyle \cos 2a = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}$ , τότε $\displaystyle cos a = \pm \sqrt {\frac{{4 - \sqrt 7 }}{8}} = \pm \frac{{\sqrt {8 - 2\sqrt 7 } }}{4} = \pm \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}$

Άρα έχει ελάχιστο $\displaystyle \cos a = \frac{{ - 1 - \sqrt 7 }}{4}$ , που επαληθεύει την αρχική, αφού το σύστημα
$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \cos b + \cos c = \frac{{5 + \sqrt 7 }}{4}\\ \sin b + \sin c = \frac{{5 - \sqrt 7 }}{4} \end{array} \right.$ είναι συμβιβαστό (δίνει πράγματι cos(b-c)=1

).

ΕΡΩΤΗΜΑ: (αναπάντητο) Μπορεί κάποιος να εντοπίσει το αδύνατο σημείο της προηγούμενης ανάρτησής μου με τη μέθοδο "της προς στιγμήν σταθεράς"; (την οποίαν αφήνω για να συνεχιστεί η συζήτηση).

Ευχαριστώ τον Σταύρο Παπαδόπουλο που μού υπέδειξε μια τυπογραφική διόρθωση και έναν προβληματισμό για το πώς από την ελάχιστη τιμή του αθροίσματος sina + cosa

μεταβαίνουμε στο ελάχιστο του cosa

. Αφήνω, βεβαίως, την ανάρτησή μου με τα κενά της ώστε να συμπληρωθεί, αν γίνεται, ή αλλιώς να αποτελέσει αφορμή για συζήτηση.

#4

Ουσιαστικά θέλουμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης $f(a,b,c)=\cos a$ κάτω από τις συνθήκες
g(a,b,c)=1

και

, όπου $g(a,b,c)=\cos a+\cos b+\cos c$ και $h(a,b,c)=\sin a+\sin b+\sin c$ .

Δεν μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω πρόταση γιατί η f(a,b,c)

δεν είναι κυκλικά συμμετρική ως προς

,

και

.

Μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε πολλαπλασιαστές Lagrange.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Συμπληρώνω την λύση του Γιώργου.
(το αρχικό κομμάτι είναι αντιγραφή)

Τετραγωνίζω τις ισότητες $\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos b + \cos c = 1 - \cos a}\\ {sinb + sinc = 1 - \sin a} \end{array}} \right.$ και προσθέτω

$\displaystyle 2\left( {\cos b\cos c + \sin b\sin c} \right) + 2 = 3 - 2\left( {\sin a + \cos a} \right)$
$\displaystyle \Leftrightarrow 2\cos \left( {b - c} \right) = 1 - 2\left( {\sin a + \cos a} \right) \Leftrightarrow \sin a + \cos a = \frac{1}{2} - \cos \left( {b - c} \right)$

Αφού $\displaystyle \cos \left( {b - c} \right) \le 1$ θα είναι $\displaystyle \sin a + \cos a \ge - \frac{1}{2}$

Είναι φανερό ότι το ελάχιστο είναι όταν $\cos a< 0,\sin a\geqslant 0$

Ετσι έχουμε ότι $a\in (\frac{\pi }{2},\pi )$

Η $\displaystyle \sin a + \cos a \ge - \frac{1}{2}$
μπορεί να γραφεί
$\cos (a-\frac{\pi }{4})\geq- \frac{\sqrt{2}}{4}=\cos \phi$

και λόγω της μονοτονίας της $\cos$
$a-\frac{\pi }{4}\leq \phi$

Ετσι παίρνουμε ελάχιστη τιμή για το $\cos a$
οταν είναι
$\displaystyle \sin a + \cos a = - \frac{1}{2}$
αλλά
$\displaystyle \sin a + \cos a = - \frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin a =- \cos a - \frac{1}{2}\Leftrightarrow (\sin a)^{2} =(- \cos a - \frac{1}{2})^{2}$

η τελευταία δίνει
$2(\cos a)^{2}+\cos a-\frac{3}{4}=0$
λύνοντας παίρνουμε
$\cos a=\dfrac{-1-\sqrt{7}}{4}$
(αφού θέλουμε αρνητικό)

Μάλιστα βλέπουμε ότι b=c

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Για να δούμε μια διαφορετική αντιμετώπιση καθαρά γεωμετρική.
Θέτουμε
$A=(\cos a,\sin a),B=(\cos b,\sin b),C=(\cos c,\sin c)$

Τα διανύσματα είναι μοναδιαία και
A+B+C=(1,1)

Το διάνυσμα B+C

θα πρέπει να βόσκει στον κύκλο
$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$
και να βρίσκεται πάνω η μέσα στον κύκλο
$x^{2}+y^{2}=4$ .
Αυτοί οι κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία.
Ειναι φανερό από το σχήμα (αν μπορεί ας το κάνει κάποιος)

ότι το $\cos a$ γίνεται ελάχιστο όταν το
B+C

είναι το σημείο
τομής με την μεγαλύτερητετμημένη.
Ετσι B=C

Υπολογίζοντας βρίσκουμε ότι αυτό το σημείο είναι το

$(\dfrac{5+\sqrt{7}}{4},\dfrac{5-\sqrt{7}}{4})=D$

τότε το A=(1,1)-D

δηλαδή
$A=(\dfrac{-1-\sqrt{7}}{4},\dfrac{-1+\sqrt{7}}{4})$

συμπλήρωμα.Εκανα διόρθωση.Μπέρδεψα την τετμημένη με την τεταγμένη.

#7

Αναρτώ το σχήμα για την τελευταία γεωμετρική λύση του Σταύρου.

Το σημείο

είναι το σημείο τομής με τη μεγαλύτερη τετμημένη.

: 16-04-2019 Γεωμετρία.png (45.32 KiB) Προβλήθηκε 1237 φορές

edit: Έκανα τις διορθώσεις.

(Αν ήμουν προληπτικός θα έλεγα ότι υπάρχουν ασκήσεις που είναι φτιαγμένες για να μας βασανίζουν... )

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Τρί Απρ 16, 2019 8:35 pm
Αναρτώ το σχήμα για την τελευταία γεωμετρική λύση του Σταύρου.

Το σημείο είναι το σημείο τομής με τη μεγαλύτερη τετμημένη.

16-04-2019 Γεωμετρία.png

Ευχαριστώ Γιώργο.Αλλά όπως θα δεις και παραπάνω μπέρδεψα την τετμημένη με την τεταγμένη.
Αν δεν σου κάνει κόπος διόρθωσε στο σχήμα το σημείο.Είναι το άλλο.

συμπλήρωμα.Γιώργο μπέρδεψες την τετμημένη με την τεταγμένη.
Το σημείο με την μεγαλύτερη τετμημένη είναι το άλλο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Θα δώσω και μια αλγεβρική λύση που στην ουσία είναι ίδια με την παραπάνω
γεωμετρική που έδωσα.

Θέτουμε $x=\cos b+\cos c,y=\sin b+\sin c$
Εχουμε ότι
$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1,x^{2}+y^{2}\leq 4$
Από αυτές τις δύο παίρνουμε ότι

$x+y\leq \frac{5}{2}$ (1)

Για να βρούμε το ελάχιστο του $\cos a$ αρκεί να βρούμε το μέγιστο του

.

Η (1) δίνει $x+1+\sqrt{1-(x-1)^{2}}\leq \frac{5}{2}$

η $x+1-\sqrt{1-(x-1)^{2}}\leq \frac{5}{2}$

μεγαλύτερη τιμή για το

δίνει η δεύτερη που γράφεται

$x-\frac{3}{2}\leq \sqrt{1-(1-x)^{2}}$

μπορούμε να υποθέσουμε ότι $x\geq \frac{3}{2}$

οπότε υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε

$2x^{2}-5x+\frac{9}{4}\leq 0$

Κατά τα γνωστά το $x=\dfrac{5+\sqrt{7}}{4}$ είναι μέγιστο.
κλπ

Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

Μέλη σε σύνδεση