Η σαραντάρα

#1

Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle \tan 40^\circ = \frac{{\left( {1 - {{\tan }^2}10^\circ } \right)\sqrt 3 }}{2}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 02, 2019 5:04 pm
Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle \tan 40^\circ = \frac{{\left( {1 - {{\tan }^2}10^\circ } \right)\sqrt 3 }}{2}$

Η δοθείσα γράφεται

$\displaystyle \tan (30+10)^\circ = \frac{{\left( {1 - {{\tan }^2}10^\circ } \right)\sqrt 3 }}{2}$

Θέτοντας $b=\tan 10$ και κάνοντας τις πράξεις είναι ισοδύναμη με την

$\sqrt{3}b^{3}-3b^{2}-3\sqrt{3}b+1=0$ (1)

Χρησιμοποιώντας την σχέση $\displaystyle \tan 3x=\frac{3\tan x-(\tan x)^{3}}{1-3(\tan x)^{2}}$

για x=10

καταλήγουμε στην (1)

Ετσι η (1) ισχύει .
Αρα και η αρχική αφού είναι ισοδύναμη της.

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 02, 2019 5:04 pm
Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle \tan 40^\circ = \frac{{\left( {1 - {{\tan }^2}10^\circ } \right)\sqrt 3 }}{2}$

Επειδή $\boxed{\tan 20^\circ = \frac{{2\tan 10^\circ }}{{1 - {{\tan }^2}10^\circ }}}$ διαιρώ τα δύο μέλη με $2\tan 10^\circ$ κι έχω ισοδύναμα:

$\dfrac{{\sin 40^\circ }}{{2\tan 10^\circ \cos 40^\circ }} = \dfrac{{\sin 60^\circ }}{{\tan 20^\circ }}$ η οποία γράφεται ισοδύναμα :

$\left( {2\sin 60^\circ \sin 40^\circ } \right)\tan 10^\circ = 2\sin 20^\circ \cos 20^\circ \dfrac{{\sin 20^\circ }}{{\cos 20^\circ }}$ ή

$\left( {\sin 100^\circ + \sin 20^\circ } \right)\tan 10^\circ = 2{\sin ^2}20^\circ \Leftrightarrow \left( {\cos 10^\circ + 2\sin 10°\cos 10^\circ } \right)\tan 10^\circ = 2{\sin ^2}20^\circ$

Κι επειδή $\tan 10^\circ \cos 10^\circ = \sin 10^\circ$ η προηγούμενη γίνεται :

$\sin 10^\circ + 2{\sin ^2}10^\circ = 2{\left( {2\sin 10^\circ \cos 10^\circ } \right)^2}$ ή τελικά :

$\sin 10^\circ + 2{\sin ^2}10^\circ = 8{\sin ^2}10^\circ \left( {1 - {{\sin }^2}10^\circ } \right) \Leftrightarrow \boxed{3\sin 10^\circ - 4{{\sin }^3}10^\circ = \frac{1}{2} = \sin (3 \cdot 10^\circ )}$

#4

Ας παρατηρήσουμε ακόμα ότι η ζητούμενη είναι ισοδύναμη με την γνωστότατη σχέση

$\displaystyle{\sin 20^o \sin 40^o \sin 80^o =\frac{\sqrt{3}}{8}.}$ ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ )

Πράγματι, επειδή ισχύει

$\displaystyle{1-\tan ^2 10^o=\frac{\cos 20^o}{\cos ^2 10^o}}$ ,

η αποδεικτέα γράφεται

$\displaystyle{\sin 40^o \cos ^2 10^o=\cos 20^o \cos 40^o \frac{\sqrt{3}}{2}.}$

Όμως είναι

$\displaystyle{\cos 20^o \cos 40^o=\frac{\sin 40^o}{2\sin 20^o}\frac{\sin 80^o}{2\sin 40^o}=\frac{\sin 80^o}{4\sin 20^o}}$

και φτάνουμε στην ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ ) λόγω της $\displaystyle{\cos 10^o=\sin 80^o.}$

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα σε όλους. Μια ακόμη διαδρομή

$\displaystyle \tan 40^\circ = \frac{{\left( {1 - {{\tan }^2}10^\circ } \right)\sqrt 3 }}{2}\Leftrightarrow 2tan30^{0}tan40^{0}=1-tan^{2}10^{0} ...(1)$

Είναι $tan30^{0}tan40^{0}=\dfrac{2sin30^{0}sin40^{0}}{2cos30^{0}cos40^{0}}=\dfrac{cos10^{0}-cos70^{0}}{cos10^{0}+cos70^{0}}=\dfrac{cos10^{0}-sin20^{0}}{cos10^{0}+sin20^{0}}=\dfrac{1-2sin10^{0}}{1+2sin10^{0}}$

και $1-tan^{2}10^{0}=1-\dfrac{1-cos20^{0}}{1+cos20^{0}}=\dfrac{2cos20^{0}}{1+cos20^{0}}$ .

Έτσι $(1) \Leftrightarrow \dfrac{1-2sin10^{0}}{1+2sin10^{0}} =\dfrac{cos20^{0}}{1+cos20^{0}} \Leftrightarrow$

$4sin10^{0}cos10^{0}=1-2sin10^{0} \Leftrightarrow 2sin10^{0}cos10^{0}+sin10^{0}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow$

$sin30^{0} +sin\left ( -10^{0} \right)+sin10^{0}= \dfrac{1}{2}$ που ισχύει. Φιλικά , Γιώργος.

#6

Ευχαριστώ τους Σταύρο, Νίκο, Θάνο και Γιώργο για τις λύσεις τους. Ας βάλουμε και λίγη Γεωμετρία

χρησιμοποιώντας τα συμπεράσματα αυτής της άσκησης, όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

: Η 40άρα.png (12.35 KiB) Προβλήθηκε 876 φορές

$\displaystyle \tan 20^\circ = \frac{{2\tan 10^\circ }}{{1 - {{\tan }^2}10^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{(1 - {{\tan }^2}10^\circ )\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\tan 10^\circ \cdot \tan 60^\circ }}{{\tan 20^\circ }} = \dfrac{{\dfrac{{AD}}{{AB}} \cdot \dfrac{{AC}}{{AE}}}}{{\dfrac{{AC}}{{AB}}}} = \frac{{AD}}{{AE}} = \tan 40^\circ$

#7

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 04, 2019 4:37 pm
Ευχαριστώ τους Σταύρο, Νίκο, Θάνο και Γιώργο για τις λύσεις τους. Ας βάλουμε και λίγη Γεωμετρία

χρησιμοποιώντας τα συμπεράσματα αυτής της άσκησης, όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Η 40άρα.png
$\displaystyle \tan 20^\circ = \frac{{2\tan 10^\circ }}{{1 - {{\tan }^2}10^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{(1 - {{\tan }^2}10^\circ )\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\tan 10^\circ \cdot \tan 60^\circ }}{{\tan 20^\circ }} = \dfrac{{\dfrac{{AD}}{{AB}} \cdot \dfrac{{AC}}{{AE}}}}{{\dfrac{{AC}}{{AB}}}} = \frac{{AD}}{{AE}} = \tan 40^\circ$

Η σαραντάρα

Η σαραντάρα

Re: Η σαραντάρα

Re: Η σαραντάρα

Re: Η σαραντάρα

Re: Η σαραντάρα

Re: Η σαραντάρα

Re: Η σαραντάρα

Μέλη σε σύνδεση