Μια με παράμετρο και σύνολο τιμών

#1

Βρείτε το ευρύτερο δυνατό διάστημα από το οποίο λαμβάνει τιμές η παράμετρος

έτσι ώστε
η συνάρτηση $f(x)=\frac{x^2+2x+c}{x^2+4x+3c}$ να έχει σύνολο τιμών όλο το $\mathbb{R}$ .

Ιστοσελίδα · #2

Πριν τη λύση, αν δεν τη γράψει άλλος, ας δούμε μία ενδιαφέρουσα, κατά τη γνώμη μου διερεύνηση:

Η f(x)

γράφεται $f(x) = 1- 2 \frac{x+c}{x^2 +4x + 3c}$ .

Ισχύει ότι $\displaystyle \lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = 1$ .

Οπότε εύκολα αποδεικνύεται ο ισχυρισμός ότι για νά έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ πρέπει η εξίσωση
x^2 + 4x + 3c = 0

να έχει λύση. Ισοδύναμα $c \leq \frac{4}{3}$ .

Είναι άραγε αρκετό αυτό όμως;

#3

polysot έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 16, 2019 10:08 pm
Πριν τη λύση, αν δεν τη γράψει άλλος, ας δούμε μία ενδιαφέρουσα, κατά τη γνώμη μου διερεύνηση:

Η γράφεται $f(x) = 1- 2 \frac{x+c}{x^2 +4x + 3c}$ .

Ισχύει ότι $\displaystyle \lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = 1$ .

Οπότε εύκολα αποδεικνύεται ο ισχυρισμός ότι για νά έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ πρέπει η εξίσωση
να έχει λύση. Ισοδύναμα $c \leq \frac{4}{3}$ .

Είναι άραγε αρκετό αυτό όμως;

Σωτήρη όχι. π.χ. c=-7 , c=0

Ιστοσελίδα · #4

rek2 έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 16, 2019 10:15 pm

polysot έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 16, 2019 10:08 pm
Πριν τη λύση, αν δεν τη γράψει άλλος, ας δούμε μία ενδιαφέρουσα, κατά τη γνώμη μου διερεύνηση:

Η γράφεται $f(x) = 1- 2 \frac{x+c}{x^2 +4x + 3c}$ .

Ισχύει ότι $\displaystyle \lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = 1$ .

Οπότε εύκολα αποδεικνύεται ο ισχυρισμός ότι για νά έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ πρέπει η εξίσωση
να έχει λύση. Ισοδύναμα $c \leq \frac{4}{3}$ .

Είναι άραγε αρκετό αυτό όμως;
Σωτήρη όχι. π.χ.

Προφανώς και όχι! Διερευνητική ήταν η ερώτηση!

Γιατί όμως; Ποιος ο ρόλος της παραμέτρου

στη συνάρτηση

;

Παρεμπιπτώντως αν έγιναν σωστά οι πράξεις, οι κατάλληλες τιμές της παραμέτρου είναι:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

polysot έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 16, 2019 11:34 pm

rek2 έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 16, 2019 10:15 pm

polysot έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 16, 2019 10:08 pm
Πριν τη λύση, αν δεν τη γράψει άλλος, ας δούμε μία ενδιαφέρουσα, κατά τη γνώμη μου διερεύνηση:

Η γράφεται $f(x) = 1- 2 \frac{x+c}{x^2 +4x + 3c}$ .

Ισχύει ότι $\displaystyle \lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = 1$ .

Οπότε εύκολα αποδεικνύεται ο ισχυρισμός ότι για νά έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ πρέπει η εξίσωση
να έχει λύση. Ισοδύναμα $c \leq \frac{4}{3}$ .

Είναι άραγε αρκετό αυτό όμως;
Σωτήρη όχι. π.χ.
Προφανώς και όχι! Διερευνητική ήταν η ερώτηση!

Γιατί όμως; Ποιος ο ρόλος της παραμέτρου στη συνάρτηση ;

Παρεμπιπτώντως αν έγιναν σωστά οι πράξεις, οι κατάλληλες τιμές της παραμέτρου είναι:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
$c\in (0,1)$

Σωτήρη καλή ερώτηση!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Είναι φανερό από την μορφή που έφερε την συνάρτηση ο Σωτήρης
ότι για να έχει πεδίο τιμών το $\mathbb{R}$
πρέπει να έχει κάθετες ασύμπτωτες.
Κανένας δεν μας λέει ότι αν μια συνάρτηση έχει κάθετες ασύμπτωτες τότε έχει πεδίο τιμών το $\mathbb{R}$ .
Εγω δεν βλέπω τίποτα περίεργο.
Ο Σωτήρης στην απόκρυψη έχει σωστά τις πράξεις.
(το ίδιο έχω βρει)

Ιστοσελίδα · #7

Ας γράψουμε και μία λύση:

Έχουμε
$f(x) = 1- 2 \frac{x+c}{x^2 + 4x + 3c}$ , $D_f =\mathbb{R} - \left\{ -2 \pm \sqrt{4-3c}\right\}$ αν $c\leq 4/3}$ ή $D_f = \mathbb{R}$ αν c > 4/3}

Θέτουμε $y=f(x) =1- 2 \frac{x+c}{x^2 + 4x + 3c}$ και θα λύσουμε ως προς

.

H εξίσωση γράφεται:

$1-y = 2 \frac{x+c}{x^2 + 4x + 3c} \Leftrightarrow$

$(y-1) x^2 + 2(2y-1) x + c(3y-1) = 0 \Leftrightarrow$

[*] Για $y\neq 1$ η παραπάνω εξίσωση είναι δευτεροβάθμια και για να έχει λύση πρέπει $\Delta\geq 0$

$4(y-1)^2 - 4(y-1)(3y-1)c \geq 0 \Leftrightarrow$
$4(y-1)(y-1-3yc +c) \geq 0 \Leftrightarrow$
$4(y-1)(y(1-3c)+c-1)\geq 0 \Leftrightarrow$

Επειδή θέλουμε το σύνολο τιμών να είναι το $\mathbb{R}$ πρέπει να υπάρχει λύση της αρχικής εξίσωσης ως προς

για κάθε $y\in \mathbb{R}$ με $y\neq 1$ που εξετάζουμε εδώ. Συνεπώς πρέπει $\Delta \geq 0, \forall y\in \mathbb{R}-\left\{ 1\right\}$ .

Οπότε, ισοδύναμα, πρέπει να ισχύει:

$4(y-1)(y(1-3c)+c-1)\geq 0, \ \forall y \in \mathbb{R}- \left\{ 1\right\} \Leftrightarrow$
$(4-3c)y^2 +4(c-1)y + 1-c \geq 0 , \ \forall y \in \mathbb{R}- \left\{ 1\right\} \Leftrightarrow$

$\Delta_1 \leq 0$ και $(4-3c)>0 \Leftrightarrow$
$\Delta_1 = 16(c-1)^2 - 4 (4-3c)(1-c) \leq 0$ και $c< \frac{4}{3} \Leftrightarrow$
$4(c-1)c \leq 0$ και $c< \frac{4}{3} \Leftrightarrow$
$c\in \left[0, 1\right]$
[*] Για y=1

έχουμε:

$0 x^2 + 2x + 2c = 0 \Leftrightarrow x = -c$ , οπότε η αρχική γίνεται:
Όμως για $x \neq -2 \pm \sqrt{4-3c} \Leftrightarrow c \neq 0, 1$ .

Συνεπώς, έχουμε ότι:
$c\in (0,1)$ .

Μια με παράμετρο και σύνολο τιμών

Μια με παράμετρο και σύνολο τιμών

Re: Μια με παράμετρο και σύνολο τιμών

Re: Μια με παράμετρο και σύνολο τιμών

Re: Μια με παράμετρο και σύνολο τιμών

Re: Μια με παράμετρο και σύνολο τιμών

Re: Μια με παράμετρο και σύνολο τιμών

Re: Μια με παράμετρο και σύνολο τιμών

Μέλη σε σύνδεση