Πότε είναι κύκλος;

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Πότε είναι κύκλος;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Ιούλ 25, 2019 12:19 am

Έστω δύο συγκεκριμένοι μιγαδικοί αριθμοί z_1 και z_2.
Για τους μιγαδικούς αριθμούς z ισχύει \left | z-z_1 \right |^{2}+\left | z-z_2 \right |^{2}=k,(1)
Για ποιές τιμές της παραμέτρου k η (1) εκφράζει κύκλο;


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3922
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πότε είναι κύκλος;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Πέμ Ιούλ 25, 2019 12:58 am

Δε ξέρω αν υπάρχει κάτι συντομότερο αλλά το παρακάτω λύνει την άσκηση σχετικά γρήγορα.

Έστω z=x+yi, \ z_1=x_1+y_1i, \ z_2=x_2+y_2i.

Τότε η δοσμένη γράφεται:

\begin{aligned} & (x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(x-x_2)^2+(y-y_2)^2=k \\ &\Leftrightarrow x^2+y^2-(x_1+x_2)x-(y_1+y_2)y+\dfrac{x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2-k}{2}=0\end{aligned}.

Η τελευταία εξίσωση εκφράζει κύκλο αν και μόνο αν

\begin{aligned} &(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2-4\left(\dfrac{x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2-k}{2}\right)>0 \\ &\Leftrightarrow 2k>(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 \Leftrightarrow k>\dfrac{|z_1-z_2|^2}{2}\end{aligned}.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1847
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Πότε είναι κύκλος;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Ιούλ 25, 2019 1:48 am

chris_gatos έγραψε:
Πέμ Ιούλ 25, 2019 12:19 am
Έστω δύο συγκεκριμένοι μιγαδικοί αριθμοί z_1 και z_2.
Για τους μιγαδικούς αριθμούς z ισχύει \left | z-z_1 \right |^{2}+\left | z-z_2 \right |^{2}=k,(1)
Για ποιές τιμές της παραμέτρου k η (1) εκφράζει κύκλο;
Χρήστο και Αλέξανδρε γειά σας...

Μπορούμε και με απλό γεωμετρικό τρόπο, εργαζόμενοι στο ακόλουθο σχήμα:
Μιγαδικοί - κύκλος 1.png
Μιγαδικοί - κύκλος 1.png (13.53 KiB) Προβλήθηκε 294 φορές
Αν τα σημεία \displaystyle{A, B} είναι εικόνες των μιγαδικών \displaystyle{Z_1, Z_2} αντίστοιχα και το σημείο \displaystyle{M} η εικόνα του
μιγαδικού \displaystyle{z} τότε από το πρώτο θεώρημα των διαμέσων έχουμε:

\displaystyle{MA^2+MB^2=2MO^2+\frac{AB^2}{2} \  \ (1) }

Αντίστοιχα η δοθείσα σχέση γράφεται:

\displaystyle{MA^2+MB^2=k \  \ (2) }

Από τις (1) και (2) προκύπτει:

\displaystyle{OM=\frac{1}{2} \sqrt{2k-AB^2} \  \ (3) }

Έτσι η σχέση (3) για να εκφράζει πραγματικό κύκλο(έστω και μηδενικής ακτίνας), θα πρέπει για την παράμετρο \displaystyle{k \in R} να ισχύει:

\displaystyle{k\geq \frac{AB^2}{2} }

ή

\displaystyle{k\geq \frac{\left|z_1-z_2\right|^2}{2}  }

Κώστας Δόρτσιος


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πότε είναι κύκλος;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 25, 2019 8:53 am

chris_gatos έγραψε:
Πέμ Ιούλ 25, 2019 12:19 am
Έστω δύο συγκεκριμένοι μιγαδικοί αριθμοί z_1 και z_2.
Για τους μιγαδικούς αριθμούς z ισχύει \left | z-z_1 \right |^{2}+\left | z-z_2 \right |^{2}=k,(1)
Για ποιές τιμές της παραμέτρου k η (1) εκφράζει κύκλο;
Εφαρμόζοντας τον κανόνα του παραλληλογράμου έχουμε

|z-z_{1}|^{2}+|z-z_{2}|^{2}=\frac{1}{2}(|2z-z_{1}-z_{2}|^{2}+|z_{2}-z_{1}|^{2})

με βάση αυτή η αρχική γράφεται

|z-\frac{z_{1}+z_{2}}{2}|^{2}=\frac{1}{4}(2k-|z_{1}-z_{2}|^{2})


που δείχνει ότι είναι κύκλος αν και μόνο αν

2k>|z_{1}-z_{2}|^{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης