Ταυτότητα

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4006
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ταυτότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Νοέμ 13, 2019 12:08 pm

Έστω -\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x \leq 1. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\arctan \left ( \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} \right ) = \frac{\pi}{4}- \frac{\arccos x}{2}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ταυτότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 13, 2019 2:28 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Νοέμ 13, 2019 12:08 pm
Έστω -\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x \leq 1. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\arctan \left ( \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} \right ) = \frac{\pi}{4}- \frac{\arccos x}{2}}
Θέτουμε x=\cos \theta (το \theta υπάρχει και είναι μοναδικό με 0\le \theta \le \dfrac {3\pi}{4}), οπότε

 \sqrt{1+x} = \sqrt{1+\cos \theta } = \sqrt{2 \cos ^2\dfrac {\theta}{2} } = \sqrt{2 } \cos \dfrac {\theta}{2} } (υπόψη το \theta /2 είναι στο πρώτο τεραρτημόριο). Επίσης

 \sqrt{1-x} = \sqrt{1-\cos \theta } = \sqrt{2 \sin ^2\dfrac {\theta}{2} } = \sqrt{2 } \sin \dfrac {\theta}{2} } . Άρα

\displaystyle{  \dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} =  \dfrac {\cos \dfrac {\theta}{2} - \sin \dfrac {\theta}{2}  } {\cos \dfrac {\theta}{2} + \sin \dfrac {\theta}{2}  } =  \dfrac {1 - \tan \dfrac {\theta}{2}  } {1+ \tan  \dfrac {\theta}{2}  }   = \tan \left (\dfrac{\pi}{4}- \dfrac{\theta }{2} \right ) }

και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης