Τιμή παράστασης

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8947
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Τιμή παράστασης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 07, 2019 10:32 am

Αν \displaystyle \frac{{\sin a}}{{\sin b}} + \frac{{\cos a}}{{\cos b}} =  - 1, να βρείτε την τιμή της παράστασης: \displaystyle A = \frac{{{{\sin }^3}b}}{{\sin a}} + \frac{{{{\cos }^3}b}}{{\cos a}}



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1867
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Τιμή παράστασης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Δεκ 07, 2019 12:55 pm

Καλημέρα Γιώργο

\dfrac{sina}{sinb}+\dfrac{cosa}{cosb}=-1\Leftrightarrow 2sin(a+b)=-sin2b,(1),


      A=sin^{2}.\dfrac{sinb}{sina}+cos^{2}b.\dfrac{cosb}{cosa},(2)

Η δοθείσα σχέση στην υπόθεση γράφεται


\dfrac{sinb}{sina}=-\dfrac{cosb}{cosa+cosb},(*), \dfrac{cosb}{cosa}=-\dfrac{sinb}{sina+sinb},(**),

(2),(*),(**)\Rightarrow A=sin^{2}b.(\dfrac{-cosb}{cosa+cosb})+cos^{2}b.\frac{-sinb}{sina+sinb}= 


-sinbcosb.(\dfrac{sinb}{cosa+cosb}+\dfrac{cosb}{sina+sinb})=-sinbcosb.\dfrac{1+cos(a-b)}{(sina+sinb)


(cosa+cosb)}=-sinb.cosb.\dfrac{2cos^{2}\dfrac{a-b}{2}}{sin(a+b).cos^{2}\frac{a-b}{2}}=

\dfrac{-sin2b}{-sin2b}=1


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4562
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Τιμή παράστασης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Δεκ 07, 2019 7:28 pm

Καλησπέρα σε όλους. Αφού έχει ήδη δώσει απάντηση ο Γιάννης, ας δώσω ένα τέχνασμα, που δεν είναι, βεβαίως γενική απόδειξη, αλλά λειτουργεί σε περιπτώσεις όπου ζητείται π.χ. η επιλογή σωστής απάντησης δίχως αιτιολόγηση.
Η κεντρική ιδέα είναι ότι αν βρούμε την τιμή της παράστασης A για συγκεκριμένες τιμές των μεταβλητών, αυτή θα ισχύει και για τις άλλες, ... εκτός αν έχει σφάλμα η εκφώνηση. Εδώ, όπως βλέπουμε, ακόμα κι αυτή η τεχνική δεν είναι ότι το απλούστερο συναντάμε. Χρειάζεται να γνωρίζουμε κάποιους τριγωνομετρικούς αριθμούς και αρκετούς μετασχηματισμούς. Πάντως είναι απλούστερη από τη γενική αντιμετώπιση που έδωσε ο Γιάννης.

Είναι  \displaystyle \frac{{\sin a}}{{\sin b}} + \frac{{\cos a}}{{\cos b}} =  - 1 \Leftrightarrow \sin a\cos b + \sin b\cos a =  - \sin b\cos b

 \displaystyle  \Leftrightarrow \sin \left( {a + b} \right) =  - \frac{1}{2}\sin 2b

Παρατηρούμε ότι αν πάρουμε π.χ.  \displaystyle \;b = 45^\circ \; τότε  \displaystyle  - \frac{1}{2}\sin 2 \cdot 45^\circ  =  - \frac{1}{2} ,

οπότε  \displaystyle \sin \left( {a + 45^\circ } \right) =  - \frac{1}{2} και μια δεκτή τιμή για το a είναι  \displaystyle a = 165^\circ .

Πράγματι,  \displaystyle \frac{{\sin 165^\circ }}{{\sin 45^\circ }} + \frac{{\cos 165^\circ }}{{\cos 45^\circ }} = \frac{{\sin 15^\circ }}{{\sin 45^\circ }} - \frac{{\cos 15^\circ }}{{\cos 45^\circ }} = \frac{{\frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} - \frac{{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} =  - 1 .

Οπότε  \displaystyle A = \frac{{{{\sin }^3}b}}{{\sin a}} + \frac{{{{\cos }^3}b}}{{\cos a}} = \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^3}}}{{\frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}}} - \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^3}}}{{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }} - \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }} =

 \displaystyle  = \frac{{\sqrt {12}  + 2 - \sqrt {12}  + 2}}{4} = 1 .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες