Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

#1

Αν οι συναρτήσεις f, g

είναι ορισμένες και συνεχείς στο $\left [ a,b \right ]$ και για κάθε $x, y \epsilon \left [ a,b \right ]$
ισχύει ότι: $f(x)g(y)\geq 1$ , για κάθε $x, y \epsilon \mathbb{R}$ τότε να αποδείξετε ότι:

$\int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^2$

#2

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 11, 2019 10:59 pm
Αν οι συναρτήσεις είναι ορισμένες και συνεχείς στο $\left [ a,b \right ]$ και για κάθε $x, y \epsilon \left [ a,b \right ]$
ισχύει ότι: $f(x)g(y)\geq 1$ , για κάθε $x, y \epsilon \mathbb{R}$ τότε να αποδείξετε ότι:

$\int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^2$

Εφόσον οι

δεν μηδενίζονται (άμεσο από την δοθείσα), διατηρούν το πρόσημό τους. Είναι και ομόσημες. Χωρίς βλάβη είναι θετικές γιατί μπορούμε να τις αντικαταστήσουμε με την αντίθετή τους.

Έστω g(y_0)

η μικρότερη τιμή της

. Από την δοθείσα ανισότητα είναι ισχύει $f(x) \ge \dfrac {1}{g(y_0)}$ . Άρα

$\int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx \ge \int_{a}^{b} \dfrac {1}{g(y_0)} dx \int_{a}^{b}g(y_0)dx = \dfrac {b-a}{g(y_0) } g(y_0) (b-a)= (b-a)^2$

Λάμπρος Κατσάπας · #3

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 11, 2019 10:59 pm
Αν οι συναρτήσεις είναι ορισμένες και συνεχείς στο $\left [ a,b \right ]$ και για κάθε $x, y \epsilon \left [ a,b \right ]$
ισχύει ότι: $f(x)g(y)\geq 1$ , για κάθε $x, y \epsilon \mathbb{R}$ τότε να αποδείξετε ότι:

$\int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^2$

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx= \int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(y)dy=$

$\displaystyle = \int_{a}^{b}\left (\int_{a}^{b}f(x)g(y)dy \right )dx= \int_{a}^{b}\int_{a}^{b}f(x)g(y)dydx$

$\displaystyle \geq \int_{a}^{b}\int_{a}^{b}1dydx=(b-a)^2$

Christos.N · #4

από το θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτικού λογισμού : $\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi_1)(b-a),~~~\int_{a}^{b}g(x)dx=g(\xi_2)(b-a)$

$\int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx=f(\xi_1)g(\xi_2)(b-a)(b-a)\ge (b-a)^2$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 11, 2019 10:59 pm
Αν οι συναρτήσεις είναι ορισμένες και συνεχείς στο $\left [ a,b \right ]$ και για κάθε $x, y \epsilon \left [ a,b \right ]$
ισχύει ότι: $f(x)g(y)\geq 1$ , για κάθε $x, y \epsilon \mathbb{R}$ τότε να αποδείξετε ότι:

$\int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^2$

C-S

Και δεν χρειάζεται το $f(x)g(y)\geq 1$ , για κάθε $x, y \epsilon \mathbb{R}$
Χρειάζεται το πιο ελαφρύ
$f(x)g(x)\geq 1$ , για κάθε $x \epsilon [a,b]$

Η εκφώνηση θα έπρεπε να είναι

Αν οι συναρτήσεις f, g

είναι ορισμένες και συνεχείς στο $\left [ a,b \right ]$ και για κάθε $x, y \epsilon \left [ a,b \right ]$
ισχύει ότι: $f(x)g(y)\geq 1$ τότε να αποδείξετε ότι:

$\int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^2$

#6

Εκ παραδρομής Σταύρο έγραψα το $\mathbb{R}$ . Ευχαριστώ.
Ξεσυνήθισα μάλλον. Αφού γραφω πλέον στον equation editor κι όχι όπως παλιά.
Πάντως δεν επηρέασε και πολύ το αποτέλεσμα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 12, 2019 12:47 am
Εκ παραδρομής Σταύρο έγραψα το $\mathbb{R}$ . Ευχαριστώ.
Ξεσυνήθισα μάλλον. Αφού γραφω πλέον στον equation editor κι όχι όπως παλιά.
Πάντως δεν επηρέασε και πολύ το αποτέλεσμα.

Δεν πειράζει Χρήστο.
Στην ουσία δεν είναι λάθος.Ειναι κακή διατύπωση που σε καμία περίπτωση
δεν μπερδεύει αυτόν που θέλει να το λύσει.
Αλλά λάθη που ταλαιπωρούν τον λύτη (δηλαδή λάθος δεδομένα)
είναι τα σοβαρά.

#8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 12, 2019 12:43 am
Και δεν χρειάζεται το $f(x)g(y)\geq 1$ , για κάθε $x, y \epsilon \mathbb{R}$
Χρειάζεται το πιο ελαφρύ
$f(x)g(x)\geq 1$ , για κάθε $x \epsilon [a,b]$

Σωστά. Χάριν πληρότητας ας δούμε αυτό που λέει ο Σταύρος:

Χωρίς βλάβη για κάθε

είναι $f(x)\ge 0, \, g(x) \ge 0$ . Άρα

$\displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx \geq \left ( \int_{a}^{b}\sqrt {f(x)g(x)} dx \right ) ^2\geq \left ( \int_{a}^{b} 1 dx \right ) ^2 = (b-a)^2}$

Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

Re: Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

Re: Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

Re: Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

Re: Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

Re: Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

Re: Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

Re: Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση