Για ποιούς φυσικούς ισχύει η ανίσωση;

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Για ποιούς φυσικούς ισχύει η ανίσωση;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Δεκ 12, 2019 12:33 am

Για ποιους φυσικούς αριθμούς n ισχύει ότι:
\frac{1}{3}>sin\left ( \frac{\pi}{n} \right )>\frac{1}{4} ;


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
abgd
Δημοσιεύσεις: 183
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Για ποιούς φυσικούς ισχύει η ανίσωση;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Πέμ Δεκ 12, 2019 7:32 pm

chris_gatos έγραψε:
Πέμ Δεκ 12, 2019 12:33 am
Για ποιους φυσικούς αριθμούς n ισχύει ότι:
\frac{1}{3}>sin\left ( \frac{\pi}{n} \right )>\frac{1}{4} ;
Μια, μάλλον δύσκολη λύση...

Χρησιμοποιούμε την ανισότητα sinx<x, \ \ x \in \left(0,\frac{\pi}{2} \right),

τις ταυτότητες cos2x=1-2sin^2x,  \ \ \ sin3x=3sinx-4sin^3x

και τη μονοτονία του sinx.

Επαληθεύουμε εύκολα ότι \frac{1}{3}>sin\left ( \frac{\pi}{12} \right )>\frac{1}{4}

ενώ sin\left ( \frac{\pi}{13} \right )<\frac{\pi}{13}<\frac{1}{4}

Ακόμη sin\left ( \frac{\pi}{10} \right )<\frac{\pi}{10}<\frac{1}{3}

και το sin\left ( \frac{\pi}{9} \right ) είναι η ρίζα της συνάρτησης f(x)=4x^3-3x+\frac{\sqrt{3}}{2}, η οποία βρίσκεται στο \left(0,\frac{1}{2}\right) ,

όπου η f είναι γνησίως φθίνουσα με f\left(\frac{1}{3}\rght) > 0 = f \left(sin\left ( \frac{\pi}{9} \right )\right) και έτσι

sin\left ( \frac{\pi}{9}\right )>\frac{1}{3}

Τελικά έχουμε  sin\left ( \frac{\pi}{13} \right )<\frac{1}{4}<sin\left ( \frac{\pi}{12} \right )<sin\left ( \frac{\pi}{11} \right )<sin\left ( \frac{\pi}{10} \right )<\frac{1}{3}<sin\left ( \frac{\pi}{9} \right ) το οποίο δίνει τις ζητούμενες τιμές

του ακεραίου n.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6271
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Για ποιούς φυσικούς ισχύει η ανίσωση;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Δεκ 13, 2019 7:17 am

Μια ακόμα αντιμετώπιση:

Από την ανισότητα Jordan γνωρίζουμε ότι

\displaystyle{\frac{2x}{\pi}<\sin x<x} για κάθε \displaystyle{x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}.

Επομένως ισχύει

\displaystyle{\frac{2}{n}<\sin \frac{\pi}{n}<\frac{\pi}{n}.}

Λόγω των συνθηκών, λαμβάνουμε \displaystyle{\frac{2}{n}<\frac{1}{3}\wedge \frac{\pi}{n}>\frac{1}{4},}

δηλαδή \displaystyle{6<n<4\pi.} Επομένως είναι \displaystyle{n=7,8,9,10,11,12.}

Λόγω της μονοτονίας του ημιτόνου είναι

\displaystyle{\sin \frac{\pi}{7}>\sin \frac{\pi}{8}>\sin \frac{\pi}{9}>\sin \frac{\pi}{10}>\sin \frac{\pi}{11}>\sin \frac{\pi}{12}}.

Η απόδειξη θα ολοκληρωθεί με το να αποδείξουμε ότι

\displaystyle{\sin \frac{\pi}{12}>\frac{1}{4}} (\displaystyle{\color{red}\bigstar})

\displaystyle{\sin \frac{\pi}{10}<\frac{1}{3}} (\displaystyle{\color{red}\bigstar \bigstar})

\displaystyle{\sin \frac{\pi}{9}>\frac{1}{3}} (\displaystyle{\color{red}\bigstar \bigstar \bigstar})

και ως εκ τούτου οι ζητούμενες τιμές του \displaystyle{n} θα είναι οι \displaystyle{\boxed{10,11,12}}

Οι (\displaystyle{\color{red}\bigstar}), (\displaystyle{\color{red}\bigstar \bigstar}) αποδεικνύονται εύκολα μέσω των γνωστών σχέσεων

\displaystyle{\sin \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}} και \displaystyle{\sin \frac{\pi}{10}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}}.

Το ενδιαφέρον είναι η απόδειξη της (\displaystyle{\color{red}\bigstar \bigstar \bigstar}).

Μια απόδειξη με χρήση του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών έδωσε παραπάνω ο abgd.

Μια στοιχειώδης απόδειξη είναι η εξής:

Από τον τύπο του τριπλάσιου τόξου έχουμε

\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi}{3}=3\sin \frac{\pi}{9}-4\sin ^3 \frac{\pi}{9} }.

Επομένως θέλουμε να αποδείξουμε ότι:

Αν \displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}=3x-4x^3, ~x>0}, τότε \displaystyle{x>\frac{1}{3}.}

Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι

\displaystyle{3x=4x^3+\frac{\sqrt{3}}{2}=4x^3+5\cdot \frac{\sqrt{3}}{10}\geq 6\sqrt[6]{4x^3\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{10}\right)^5}},

οπότε προκύπτει

\displaystyle{x>\sqrt[3]{2\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^5}}.

Τώρα είναι απλό να δούμε ότι

\displaystyle{\sqrt[3]{2\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^5}>\frac{1}{3}.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες