Σύνθεση συναρτήσεων => Ισότητα συναρτήσεων

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6911
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Σύνθεση συναρτήσεων => Ισότητα συναρτήσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Δεκ 12, 2019 11:18 pm

Έστω οι συναρτήσεις f, g, h με κοινό πεδίο ορισμού το \mathbb{R}.

Αν ισχύει g\circ f =h\circ f και επιπλέον η f έχει για σύνολο τιμών το \mathbb{R} να αποδείξετε ότι:

g=h.


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 728
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σύνθεση συναρτήσεων => Ισότητα συναρτήσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Δεκ 12, 2019 11:48 pm

chris_gatos έγραψε:
Πέμ Δεκ 12, 2019 11:18 pm
Έστω οι συναρτήσεις f, g, h με κοινό πεδίο ορισμού το \mathbb{R}.

Αν ισχύει g\circ f =h\circ f και επιπλέον η f έχει για σύνολο τιμών το \mathbb{R} να αποδείξετε ότι:

g=h.
Αν δεν ήταν ίσες θα υπήρχε x\in R τέτοιο, ώστε g(x)\neq h(x).

Γι'αυτό το x υπάρχει y με f(y)=x.

Όμως τότε g(x)=g(f(y))=h(f(y))=h(x) άτοπο.

Ή καλύτερα χωρίς άτοπο (το οποίο δεν είναι ''καθαρό'' άτοπο όπως φαίνεται).

Παίρνουμε τυχόν x για το οποίο υπάρχει y με f(y)=x και τότε g(x)=g(f(y))=h(f(y))=h(x).


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2578
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Σύνθεση συναρτήσεων => Ισότητα συναρτήσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Κυρ Απρ 19, 2020 5:49 pm

Να επισημάνω εδώ, κάτι που συχνά μπερδεύει και ξεχνιέται από τους μαθητές μας γιατί είναι ιδιαίτερα σημαντικό να δίνεται ότι το σύνολο τιμών της f: f(D_f ) = \mathbb{R}, διότι μέσω αυτού οι δύο συναρτήσεις h,g λαμβάνουν όλες τις τιμές του πεδίου ορισμού τους που ειναι το \mathbb{R} και έτσι εξασφαλίζεται η ισότητά τους.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης