Διπλή ανισότητα

#1

Να δείξετε ότι $\displaystyle 1 \le \int_0^1 {\sqrt {1 + {x^6}} } \,dx \le \sqrt {\frac{8}{7}}$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

george visvikis έγραψε: Κυρ Ιαν 05, 2020 2:05 pm Να δείξετε ότι $\displaystyle 1 \le \int_0^1 {\sqrt {1 + {x^6}} } \,dx \le \sqrt {\frac{8}{7}}$

Είναι απλή εφαρμογή της C-S.

H αριστερή είναι τετριμμένη. Πετάμε το x^6

και ολοκληρώνουμε.

Για τη δεξιά έχουμε:

$\displaystyle \int_0^1 {\sqrt {1 + {x^6}} }dx= \int_0^1 1\cdot {\sqrt {1 + {x^6}} }dx\leq \sqrt{\int_0^1 1^2dx \int_0^1 {\left (\sqrt {1 + {x^6} \right )^2} }dx}$

$\displaystyle\sqrt{\int_0^1 \left (1+x^6 \right )dx}= \sqrt{\dfrac{8}{7}}.$

Το φράγμα βελτιώνεται αν δουλέψουμε με διωνυμικό ανάπτυγμα. Το αφήνω γιατί έχει γράψιμο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

george visvikis έγραψε: Κυρ Ιαν 05, 2020 2:05 pm Να δείξετε ότι $\displaystyle 1 \le \int_0^1 {\sqrt {1 + {x^6}} } \,dx \le \sqrt {\frac{8}{7}}$

Για να δούμε μια προσέγγιση του ολοκληρώματος χωρίς λογισμικό.
Οι πράξεις έχουν γίνει με κομπιουτεράκι τεσσάρων πράξεων.
Δηλαδή μπορούν να γίνουν και με το χέρι.

Από Taylor είναι
$\displaystyle (1+t)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}t-\frac{1}{8}t^{2}+\frac{1}{16}t^{3}-\frac{5}{128}t^{4}a(t),0\leq t\leq 1,|a(t)|\leq 1$

Αντικαθιστώντας το

με
$\displaystyle x^{6}$
το ολοκλήρωμα είναι

$\displaystyle I=1+\frac{1}{14}-\frac{1}{8.13}+\frac{1}{16.19}$

Ενας υπολογισμός δείχνει ότι

1,065<I<1,067

Το σφάλμα είναι το πολύ

$\frac{1}{640}=0,0015625$

Το πρόβλημα είναι η προσέγγιση του $\displaystyle\sqrt{\frac{8}{7}}$
Ενας τρόπος (και για άλλες ρίζες δουλεύει) είναι

Θεωρούμε την ακολουθία με

$a^{n+1}=\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{8}{7a_{n}})$
που συγκλίνει στο
$\displaystyle\sqrt{\frac{8}{7}}$
και επιπλέον έχουμε εκτίμηση σφάλματος.
Αν
$a_{1}=1,1$
τότε
$a_{2}=1,0694,a_{3}=1,06908$

Το σφάλμα για το τελευταίο είναι
$\frac{1}{8}10^{-4}$

Να σημειώσω ότι το κομπιουτεράκι δίνει
$\sqrt{\frac{8}{7}}=1,0690449$

Διπλή ανισότητα

Διπλή ανισότητα

Re: Διπλή ανισότητα

Re: Διπλή ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση