Ρητή παράσταση με παραμέτρους.

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6891
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Ρητή παράσταση με παραμέτρους.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Φεβ 01, 2020 12:00 am

Να ορίσετε τους \alpha, \beta \in \mathbb{R} έτσι ώστε το κλάσμα \frac{x^{2}+\alpha x+\beta}{x^{2}+1}
να λαμβάνει όλες τις τιμές του διαστήματος \left [ -3,4 \right ], και μόνον αυτές, όταν x\epsilon \mathbb{R}.


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2781
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ρητή παράσταση με παραμέτρους.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Φεβ 01, 2020 5:01 am

chris_gatos έγραψε:
Σάβ Φεβ 01, 2020 12:00 am
Να ορίσετε τους \alpha, \beta \in \mathbb{R} έτσι ώστε το κλάσμα \frac{x^{2}+\alpha x+\beta}{x^{2}+1}
να λαμβάνει όλες τις τιμές του διαστήματος \left [ -3,4 \right ], και μόνον αυτές, όταν x\epsilon \mathbb{R}.
Έστω a,b οι ζητούμενοι αριθμοί. Από την -3\leq \dfrac{x^2+ax+b}{x^2+1}\leq 4,

πολλαπλασιάζοντας με x^2+1>0 και μεταφέροντας όλους τους όρους καταλλήλως παίρνουμε τις

3x^2-ax+4-b\geq 0 και 4x^2+ax+b+3\geq 0

οι οποίες πρέπει να ισχύουν για κάθε x\in \mathbb{R} και με τις ισότητες να λαμβάνονται για κάποιο x.

Aφού οι τιμές των άκρων πρέπει να λαμβάνονται, οι διακρίνουσες των τριωνύμων θα πρέπει να είναι μηδενικές. Δηλ.

a^2-48+12b =0 και a^2-16b-48=0.

Από τις τελευταίες, με αφαίρεση κατά μέλη εύκολα παίρνουμε b=0, και με αντικατάσταση, a^2=48.

Συνεπώς, a=\pm 4\sqrt{3} και b=0.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5486
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Ρητή παράσταση με παραμέτρους.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Φεβ 02, 2020 8:55 am

achilleas έγραψε:
Σάβ Φεβ 01, 2020 5:01 am
chris_gatos έγραψε:
Σάβ Φεβ 01, 2020 12:00 am
Να ορίσετε τους \alpha, \beta \in \mathbb{R} έτσι ώστε το κλάσμα \frac{x^{2}+\alpha x+\beta}{x^{2}+1}
να λαμβάνει όλες τις τιμές του διαστήματος \left [ -3,4 \right ], και μόνον αυτές, όταν x\epsilon \mathbb{R}.
......................
Συνεπώς, a=\pm 4\sqrt{3} και b=0.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Παλιά αυτές τις ασκήσεις τις κάναμε και έτσι :
''Ονομάζουμε'' το κλάσμα y , γράφουμε την ισότητα στη μορφή τριωνύμου και απατούμε αυτό να έχει ρίζες τα -3,4.Mε σχέσεις ριζών συντελεστών βρίσκουμε τα a,b .Μια μικρή διερεύνηση για το συντελεστή του x^2 δεν έχει καμιά απολύτως δυσκολία.


Προσωπικά θα άλλαζα λίγο τους αριθμούς, ώστε να προκύψουν ακέραιες τιμές για τα a,b , αλλά ο Χρήστος μάλλον έχεις τους λόγους του που διάλεξε αυτούς.

Καλό μήνα !


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες