Σύστημα δύο εξισώσεων με πολλές μεταβλητές

#1

Να βρείτε τις πραγματικές λύσεις του παρακάτω συστήματος:
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+......+x_{2004}=2004$
$x^{4}_{1}+x^{4}_{2}+x^{4}_{3}+......+x^{4}_{2004}=x^{3}_{1}+x^{3}_{2}+x^{3}_{3}+......+x^{3}_{2004}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

chris_gatos έγραψε: Τρί Μαρ 17, 2020 12:43 am Να βρείτε τις πραγματικές λύσεις του παρακάτω συστήματος:
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+......+x_{2004}=2004$
$x^{4}_{1}+x^{4}_{2}+x^{4}_{3}+......+x^{4}_{2004}=x^{3}_{1}+x^{3}_{2}+x^{3}_{3}+......+x^{3}_{2004}$

Έστω χωρίς βλάβη πως $x_1\leq x_2\leq ..\leq x_{2004}$ .
Οι 2004

-άδες $(x_1,x_2,..,x_{2004}),(x_1^3,x_2^3,..,x_{2004}^3)$ έχουν ίδια διάταξη .
Από $\textrm{Tchebicheff}$ παίρνουμε :
$\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2004}x_i}{2004}\cdot \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2004}x_i^3}{2004}\leq \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2004}x_i^4}{2004}\overset{\displaystyle\sum_{i=1}^{2004}x_i=2004}{\Leftrightarrow} \displaystyle\sum_{i=1}^{2004}x_i^3\leq \displaystyle\sum_{i=1}^{2004}x_i^4$ .
Άρα πρέπει να ισχύει η ισότητα δηλαδή $x_1=x_2=...=x_{2004}=1$ .

#3

Αλλιώς:
Αφαιρούμε κατά μέλη...

Σύστημα δύο εξισώσεων με πολλές μεταβλητές

Σύστημα δύο εξισώσεων με πολλές μεταβλητές

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων με πολλές μεταβλητές

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων με πολλές μεταβλητές

Μέλη σε σύνδεση