Σύστημα δύο εξισώσεων με πολλές μεταβλητές

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6881
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Σύστημα δύο εξισώσεων με πολλές μεταβλητές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Μαρ 17, 2020 12:43 am

Να βρείτε τις πραγματικές λύσεις του παρακάτω συστήματος:
x_{1}+x_{2}+x_{3}+......+x_{2004}=2004
x^{4}_{1}+x^{4}_{2}+x^{4}_{3}+......+x^{4}_{2004}=x^{3}_{1}+x^{3}_{2}+x^{3}_{3}+......+x^{3}_{2004}


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 766
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων με πολλές μεταβλητές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Μαρ 17, 2020 9:05 am

chris_gatos έγραψε:
Τρί Μαρ 17, 2020 12:43 am
Να βρείτε τις πραγματικές λύσεις του παρακάτω συστήματος:
x_{1}+x_{2}+x_{3}+......+x_{2004}=2004
x^{4}_{1}+x^{4}_{2}+x^{4}_{3}+......+x^{4}_{2004}=x^{3}_{1}+x^{3}_{2}+x^{3}_{3}+......+x^{3}_{2004}
Έστω χωρίς βλάβη πως x_1\leq x_2\leq ..\leq x_{2004}.
Οι 2004-άδες (x_1,x_2,..,x_{2004}),(x_1^3,x_2^3,..,x_{2004}^3) έχουν ίδια διάταξη .
Από \textrm{Tchebicheff} παίρνουμε :
\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2004}x_i}{2004}\cdot \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2004}x_i^3}{2004}\leq \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2004}x_i^4}{2004}\overset{\displaystyle\sum_{i=1}^{2004}x_i=2004}{\Leftrightarrow} \displaystyle\sum_{i=1}^{2004}x_i^3\leq \displaystyle\sum_{i=1}^{2004}x_i^4.
Άρα πρέπει να ισχύει η ισότητα δηλαδή x_1=x_2=...=x_{2004}=1.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων με πολλές μεταβλητές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Μαρ 17, 2020 4:16 pm

Αλλιώς:
Αφαιρούμε κατά μέλη... ;)


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες