Καθετότητα

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6875
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Καθετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Μαρ 18, 2020 6:13 pm

Δίνεται τρίγωνο , με  A \Gamma=3 AB}. Τα σημεία \Delta και E βρίσκονται στην πλευρά A\Gamma έτσι, ώστε A\Delta= \Delta E=E\Gamma.
Αν M είναι το μέσο του B\Gamma , να αποδειχθεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα M\Delta, ME είναι κάθετα.
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Τετ Μαρ 18, 2020 9:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 732
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Καθετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Μαρ 18, 2020 6:45 pm

chris_gatos έγραψε:
Τετ Μαρ 18, 2020 6:13 pm
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΓ=3ΑΒ. Τα σημεία Δ και Ε βρίσκονται στην πλευρά ΑΓ έτσι, ώστε ΑΔ=ΔΕ=ΕΓ.
Αν Μ είναι το μέσο του ΒΓ , να αποδειχθεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΜΔ, ΜΕ είναι κάθετα.
283.PNG
283.PNG (8.26 KiB) Προβλήθηκε 571 φορές
Μία μετρική:

Από \textrm{Stewart} είναι ca^2+2c\cdot c^2=3c\cdot 2c\cdot c+3cBD^2\Leftrightarrow BD^2=\dfrac{a^2-4c^2}{3}.
Από το θεώρημα διαμέσων έχω
DM^2=\dfrac{2\left ( BD^2+4c^2 \right )-a^2}{4}=..=\dfrac{16c^2-a^2}{12}
Πάλι από το θεώρημα διαμέσου παίρνουμε
ME^2=\dfrac{2\left ( MD^2+MC^2 \right )-4c^2}{4}=\dfrac{\dfrac{16c^2-a^2}{12}+\dfrac{3a^2}{12}-\dfrac{24c^2}{12}}{2}=..=\dfrac{a^2-4c^2}{12}
Παρατηρούμε πως MD^2+ME^2=\dfrac{16c^2-a^2}{12}+\dfrac{a^2-4c^2}{12}=\dfrac{12c^2}{12}=c^2=DE^2 οπότε από το αντίστροφο πυθαγόρειο έχουμε το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 836
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm

Re: Καθετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apotin » Τετ Μαρ 18, 2020 6:52 pm

Αν \displaystyle{Z} είναι το μέσον του \displaystyle \Delta {\rm E} τότε είναι και μέσον της \displaystyle {\rm A}\Gamma ,

οπότε \displaystyle MZ = \frac{{AB}}{2} = \frac{{A\Gamma }}{6} = \frac{{\Delta E}}{2}

Άρα η \displaystyle{MZ} είναι διάμεσος του τριγώνου \displaystyle M\Delta E και \displaystyle MZ = \frac{{\Delta E}}{2},

οπότε το τρίγωνο \displaystyle M\Delta E είναι ορθογώνιο με \displaystyle M\Delta  \bot ME
trig.png
trig.png (3.67 KiB) Προβλήθηκε 565 φορές


Αποστόλης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9208
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Καθετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μαρ 18, 2020 7:42 pm

chris_gatos έγραψε:
Τετ Μαρ 18, 2020 6:13 pm
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΓ=3ΑΒ. Τα σημεία Δ και Ε βρίσκονται στην πλευρά ΑΓ έτσι, ώστε ΑΔ=ΔΕ=ΕΓ.
Αν Μ είναι το μέσο του ΒΓ , να αποδειχθεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΜΔ, ΜΕ είναι κάθετα.
Καθετότητα.Κ.png
Καθετότητα.Κ.png (13.07 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές
Έστω N μέσο του BD. Τότε AN\bot BD και τα ANMD, NMED είναι παραλληλόγραμμα, απ' όπου προκύπτει το συμπέρασμα.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1836
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Καθετότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Μαρ 18, 2020 8:08 pm

DeepinScreenshot_select-area_20200318200356.png
DeepinScreenshot_select-area_20200318200356.png (21.18 KiB) Προβλήθηκε 516 φορές
Σχεδόν χωρίς λόγια, αν A', \Delta', E' τα συμμετρικά ώς προς M τότε το \Delta E \Delta' E' είναι ρόμβος, οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4597
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Καθετότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Μαρ 18, 2020 11:12 pm

Καλησπέρα σε όλους. Και μια ακόμα για ποικιλία!

18-03-2020 Γεωμετρία.png
18-03-2020 Γεωμετρία.png (19.71 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές


Έστω  \displaystyle A\left( {0,0} \right),\;B\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi ,\;\eta \mu \varphi } \right),\;0 < \varphi  < \pi ,\;\;\;C\left( {3,0} \right) οι κορυφές του τριγώνου και D(1,0), E(2,0).

Οπότε  \displaystyle M\left( {\frac{{\sigma \upsilon \nu \varphi  + 3}}{2},\;\frac{{\eta \mu \varphi }}{2}} \right) και  \displaystyle \overrightarrow {DM}  = \left( {\frac{{\sigma \upsilon \nu \varphi  + 1}}{2},\;\frac{{\eta \mu \varphi }}{2}} \right),\;\;\overrightarrow {EM}  = \left( {\frac{{\sigma \upsilon \nu \varphi  - 1}}{2},\;\frac{{\eta \mu \varphi }}{2}} \right) .

Άρα  \displaystyle \overrightarrow {DM}  \cdot \;\overrightarrow {EM}  = \frac{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi  - 1 + \eta {\mu ^2}\varphi }}{2} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {DM}  \bot \overrightarrow {EM} .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Καθετότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 20, 2020 10:25 am

Ορθότατη  ορθή.png
Ορθότατη ορθή.png (9.41 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές
Η διχοτόμος AS , της \hat{A} , είναι κάθετη στην BD και επιπλέον BS=SM=MT=TC .

Οι προκύπτουσες παραλληλίες , δίνουν την ζητούμενη καθετότητα .


Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 836
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm

Re: Καθετότητα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apotin » Παρ Μαρ 20, 2020 1:10 pm

Παραλλαγή της πρώτης μου λύσης
trig2.png
trig2.png (7.8 KiB) Προβλήθηκε 341 φορές

Στην προέκταση της \displaystyle \Gamma {\rm A} παίρνουμε \displaystyle AZ = A\Delta

Τότε το τρίγωνο \displaystyle ZB\Delta είναι ορθογώνιο στην γωνία \displaystyle{B}

Από τις παραλληλίες που φαίνονται προκύπτει το ζητούμενο.


Αποστόλης
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1880
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Καθετότητα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Μαρ 20, 2020 1:43 pm

chris_gatos έγραψε:
Τετ Μαρ 18, 2020 6:13 pm
Δίνεται τρίγωνο , με  A \Gamma=3 AB}. Τα σημεία \Delta και E βρίσκονται στην πλευρά A\Gamma έτσι, ώστε A\Delta= \Delta E=E\Gamma.
Αν M είναι το μέσο του B\Gamma , να αποδειχθεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα M\Delta, ME είναι κάθετα.

Καλημέρα ,

Ειναι ME//B\Delta,αρκείνα δειχθεί οτι B\Delta \perp M\Delta



Προεκτείνω τις διαμέσους EM,\Delta M ,κατα ίσα μήκη αντίστοιχα ME',M\Delta '

Οπότε απο τα παραλληλόγραμμα BE\Gamma E',B\Delta \Gamma \Delta '

εχουμε και το AE\Delta 'B είναι παραλληλόγραμμο και AB=\Delta 'E,E\Delta =E\Gamma =E\Delta '\Leftrightarrow \hat{\Delta \Delta '\Gamma }=90^{0}\Rightarrow \hat{B\Delta \Delta '}=90^{0}
Συνημμένα
Καθετότητα.png
Καθετότητα.png (48.61 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1836
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Καθετότητα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Μαρ 20, 2020 2:34 pm

Ας το ανοίξουμε αναλυτικά χωρίς το elegance του Γιώργου
DeepinScreenshot_select-area_20200320141103.png
DeepinScreenshot_select-area_20200320141103.png (20.91 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές
Αν O το μέσον του \Delta E αποδεικνύεται ότι

\overrightarrow{MZ}=\overrightarrow{AB}

όμως

\left| \overrightarrow{MZ}\right|=\left| \overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{\Delta E} \right|

Αρα το \Delta Z E M ορθογώνιο.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1811
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Καθετότητα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Μαρ 20, 2020 5:02 pm

chris_gatos έγραψε:
Τετ Μαρ 18, 2020 6:13 pm
Δίνεται τρίγωνο , με  A \Gamma=3 AB}. Τα σημεία \Delta και E βρίσκονται στην πλευρά A\Gamma έτσι, ώστε A\Delta= \Delta E=E\Gamma.
Αν M είναι το μέσο του B\Gamma , να αποδειχθεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα M\Delta, ME είναι κάθετα.
Με N συμμετρικό του B ως προς A, το D είναι το βαρύκεντρο του  \triangle BNC

Άρα DZ=ME= \dfrac{BD}{2} και ZE=DM= \dfrac{DN}{2} και ZM=AB=DE συνεπώς DZEM ορθογώνιο παραλ/μμο.
Καθετότητα.png
Καθετότητα.png (25.65 KiB) Προβλήθηκε 289 φορές


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6875
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Καθετότητα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Μαρ 21, 2020 5:54 pm

Σας ευχαριστώ όλους θερμότατα για την ποικιλία λύσεων που ανεβάσατε.
Και σε μια άλλη ομάδα που δημοσίευσα το σύνδεσμο δόθηκαν πάρα πολλές και ενδιαφέρουσες λύσεις.
https://www.facebook.com/photo.php?fbid ... ater&ifg=1
Αυτό ακριβώς έχω στο μυαλό μου όταν δημοσιεύω μια άσκηση,
Να είστε καλά.


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες