Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6875
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Μαρ 23, 2020 5:27 pm

Δίνεται τετράγωνο A B \Gamma\Delta, το μέσο M του AB και σημείο E
στη διαγώνιο A\Gamma τέτοιο, ώστε \Delta\widehat{E}M=90^{o}.
Να αποδείξετε οτι AE=3E\Gamma.


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 731
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μαρ 23, 2020 5:54 pm

chris_gatos έγραψε:
Δευ Μαρ 23, 2020 5:27 pm
Δίνεται τετράγωνο A B \Gamma\Delta, το μέσο M του AB και σημείο E
στη διαγώνιο A\Gamma τέτοιο, ώστε \Delta\widehat{E}M=90^{o}.
Να αποδείξετε οτι AE=3E\Gamma.
Το \rm AMED είναι εγγράψιμο έτσι \rm \angle EDM=45^{\circ}.
Η στροφή \rm E_{-90^{\circ}} στέλνει το \rm D στο \rm M άρα προκειμένου \rm CD\perp ME_{-90^{\circ}}(C) θα πρέπει να στείλει το \rm C στο μέσο του \rm DC και το ζητούμενο έπεται .


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 731
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μαρ 23, 2020 6:12 pm

chris_gatos έγραψε:
Δευ Μαρ 23, 2020 5:27 pm
Δίνεται τετράγωνο A B \Gamma\Delta, το μέσο M του AB και σημείο E
στη διαγώνιο A\Gamma τέτοιο, ώστε \Delta\widehat{E}M=90^{o}.
Να αποδείξετε οτι AE=3E\Gamma.

Με ελαφρότερα μέσα :
Αν \rm K το μέσο του \rm DC το \rm AMEDK είναι εγγράψιμο και έτσι αν \rm a=DC τότε \rm CE \cdot CA=CK \cdot CD \Leftrightarrow CEa\sqrt{2}=\dfrac{a}{2}\cdot a από όπου \rm CE=\dfrac{a\sqrt{2}}{4} που δίνει το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6875
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Μαρ 23, 2020 6:15 pm

Πρόδρομε σε ευχαριστώ πολύ για τον κόπο σου!
Είσαι εξαιρετικός!


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9182
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 23, 2020 6:56 pm

chris_gatos έγραψε:
Δευ Μαρ 23, 2020 5:27 pm
Δίνεται τετράγωνο A B \Gamma\Delta, το μέσο M του AB και σημείο E
στη διαγώνιο A\Gamma τέτοιο, ώστε \Delta\widehat{E}M=90^{o}.
Να αποδείξετε οτι AE=3E\Gamma.
Συγχαρητήρια κι από μένα στον Πρόδρομο για την αμεσότητα και την πληρότητα των απαντήσεών του!
Τετράγωνο....png
Τετράγωνο....png (10.89 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές
Προφανώς το DEM είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Με Π. Θ βρίσκω \displaystyle DM = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow  x = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}

Με θ. Πτολεμαίου τώρα στο εγγράψιμο AMED: \displaystyle AE \cdot \frac{{a\sqrt 5 }}{2} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4} \cdot \frac{{3a}}{2} \Leftrightarrow AE = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}, που αποδεικνύει το ζητούμενο.


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1067
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Δευ Μαρ 23, 2020 7:03 pm

tetragvno.png
tetragvno.png (22.05 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές
AMED εγγράψιμο ( \angle A= MED=90^0)

\angle A_1= \angle A_2=45^0  \rightarrow ME=ED \,\,\, (1)

EB=ED (συμμετρία ως προς AC) (2)

Από 2 και 3 έχουμε \triangle MEB ισοσκελές.

EZ \perp BM \rightarrow BZ=0,5 BM=0,25 AB συνεπώς επειδή BC//ZE έπεται ότι EC=0,25 AC και συνεπώς 3 EC=AE


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1809
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Μαρ 23, 2020 8:45 pm

chris_gatos έγραψε:
Δευ Μαρ 23, 2020 5:27 pm
Δίνεται τετράγωνο A B \Gamma\Delta, το μέσο M του AB και σημείο E
στη διαγώνιο A\Gamma τέτοιο, ώστε \Delta\widehat{E}M=90^{o}.
Να αποδείξετε οτι AE=3E\Gamma.
  E,K,D,A,M ομοκυκλικά και CK . CD=CE . CA \Rightarrow  \dfrac{a^2}{2}=CE . a \sqrt{2} \Rightarrow CE= \dfrac{a \sqrt{2} }{4}    \Rightarrow EA=3EC

Τώρα είδα τη δεύτερη λύση του Πρόδρομου που είναι ίδια μ αυτήν.Την αφήνω λόγω σχήματος
τετράγωνο....png
τετράγωνο....png (11.7 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης