ρίζα πολυωνύμου και συνθήκη

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6875
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

ρίζα πολυωνύμου και συνθήκη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Μαρ 25, 2020 7:48 pm

Έστω το πολυώνυμο P(x)=\alpha x^3-\beta x^2 + \gamma x-\delta
όπου \alpha, \beta, \gamma, \delta \epsilon \mathbb{R} με \alpha, \gamma>0, \delta \ne0
και \frac{\beta}{\alpha}<\frac{\delta}{\gamma}.
Να δείξετε ότι για κάθε πραγματική ρίζα \rho του πολυωνύμου P(x) ισχύει ότι:
\frac{\beta}{\alpha}<\rho<\frac{\delta}{\gamma}


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1483
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: ρίζα πολυωνύμου και συνθήκη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τετ Μαρ 25, 2020 9:03 pm

Γράφουμε το πολυώνυμο στη μορφή P(x)=ax^2(x-\dfrac{\beta}{a})+\gamma(x-\dfrac{\delta}{\gamma}).

\bullet Αν x\leq \dfrac{\beta}{a} τότε x<\dfrac{\delta}{\gamma} οπότε P(x)<0.


\bullet Αν x\geq \dfrac{\delta}{\gamma} τότε x>\dfrac{\beta}{a} οπότε P(x)>0.

Άρα κάθε ρίζα του P(x) είναι στο διάστημα (\dfrac{\beta}{a},\dfrac{\delta}{\gamma}).


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8390
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ρίζα πολυωνύμου και συνθήκη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μαρ 25, 2020 11:45 pm

Έστω x,y,z οι ρίζες του P. Τότε

\displaystyle  x+y+z = \frac{\beta}{\alpha} < \frac{\delta}{\gamma} = \frac{xyz}{xy+yz+zx}

Ας παρατηρήσουμε ότι xy+yz+zx = \frac{\gamma}{\alpha} > 0. Έστω x \in \mathbb{R}. Αφού \delta \neq 0, τότε x \neq 0. Τότε έχουμε

\begin{aligned} 
x \geqslant \frac{\delta}{\gamma} &\iff x \geqslant  \frac{xyz}{xy+yz+zx}\\ 
&\iff x(xy+yz+zx) \geqslant xyz \\ 
&\iff x^2(y+z) \geqslant 0 \\ 
&\iff y+z \geqslant 0  \\ 
&\iff x+y+z \geqslant x \\ 
&\iff \frac{\beta}{\alpha} \geqslant x 
\end{aligned}

Πρέπει λοιπόν \displaystyle \frac{\beta}{\alpha} < x < \frac{\delta}{\gamma} αφού αλλιώς έχουμε άτοπο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης