Από ισότητες σε ανισότητα.

#1

Έστω $x, y, z\epsilon \mathbb{R}$ οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις:
cosx+cosy+cosz=0

και

.
Να αποδείξετε ότι:
$cos(2x)\cdot cos(2y)\cdot cos(2z)\le0$

Ορέστης Λιγνός · #2

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 26, 2020 9:52 pm
Έστω $x, y, z\epsilon \mathbb{R}$ οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις:
και .
Να αποδείξετε ότι:
$cos(2x)\cdot cos(2y)\cdot cos(2z)\le0$

Καλησπέρα!

Είναι, $\cos 3x=4\cos ^3 x-3\cos x$ και τα κυκλικά, οπότε η δεύτερη σχέση γράφεται $4(\cos ^3 x+\cos ^3 y+\cos ^3 z)=3(\cos x+\cos y+\cos z)$ .

Αφού όμως $\cos x+\cos y+\cos z=0$ , προκύπτει ότι: $\cos ^3 x+\cos ^3 y+\cos ^3 z=\cos x+\cos y+\cos z=0$ .

Έστω, $\cos x=A, \cos y=B, \cos z=C$ . Τότε, A+B+C=A^3+B^3+C^3=0

, οπότε

, που δίνει BC(B+C)=0

.

Αν

, έχω

, οπότε πάντα οι λύσεις είναι της μορφής (0,k,-k)

(και κυκλικά - δηλαδή ο ένας μηδέν και οι άλλοι δύο αντίθετοι).

Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι $\cos x=0$ και $\cos z=-\cos y$ . Τότε,

$\cos(2x)\cdot \cos(2y)\cdot \cos(2z)=(2 \cos ^2 x-1)(2 \cos ^2 y-1)(2 \cos ^2 z-1)=-(2 \cos^2 y-1)^2 \leqslant 0$ , και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Από ισότητες σε ανισότητα.

Από ισότητες σε ανισότητα.

Re: Από ισότητες σε ανισότητα.

Μέλη σε σύνδεση