Παραμετρικό ολοκλήρωμα

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4401
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Παραμετρικό ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Απρ 03, 2020 8:14 pm

Έστω a, b >0. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt{\left ( t-a \right )\left ( b-t \right )} } = \frac{\pi}{\sqrt{ab}}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12509
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παραμετρικό ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 04, 2020 11:01 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Απρ 03, 2020 8:14 pm
Έστω a, b >0. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt{\left ( t-a \right )\left ( b-t \right )} } = \frac{\pi}{\sqrt{ab}}}
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι. Ένας (χωρίς τις πράξεις ρουτίνας) είναι να πούμε

\displaystyle{\sqrt{\left ( t-a \right )\left ( b-t \right )}= \sqrt{-ab +(a+b)t-t^2}= \sqrt{\left ( \dfrac {b-a}{2} \right )^2 -  \left (\dfrac {b+a}{2} -t \right )^2}}

Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής \displaystyle{  \dfrac {b+a}{2} -t  =  \dfrac {b-a}{2} \sin x} οπότε \displaystyle{\frac {dt}{dx} =   \dfrac {b-a}{2} \cos  x } και άρα το ολοκλήρωμα γίνεται

\displaystyle{ \int _{-\pi /2} ^{\pi/2}  \dfrac {dx}{  \frac {b+a}{2} -  \frac {b-a}{2} \sin x  }}, που είναι απλό και γνωστό με την αλλαγή μεταβλητής \displaystyle{T=\tan \frac {x}{2}} και χρήση της \displaystyle{\sin x = \frac {2T}{1+T^2}}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4401
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Παραμετρικό ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Απρ 04, 2020 11:14 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Απρ 03, 2020 8:14 pm
Έστω a, b >0. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt{\left ( t-a \right )\left ( b-t \right )} } = \frac{\pi}{\sqrt{ab}}}

Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής t \mapsto a \cos^2 \theta + b \sin^2 \theta και έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt{\left ( t-a \right )\left (b -t \right )}} &=\int_{0}^{\pi/2} \frac{2\left ( b-a \right )\sin \theta \cos \theta}{\left ( a \cos^2 \theta + b \sin^2 \theta \right ) \sqrt{\left ( b-a \right )^2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}} \, \mathrm{d}\theta \\  
&=2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d} \theta}{a \cos^2 \theta + b \sin^2 \theta} \\  
&=2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\theta}{\cos^2 \theta \left ( a + b \tan^2 \theta \right )} \\ &=2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sec^2 \theta}{a + b \tan^2 \theta } \, \mathrm{d} \theta \\  
&\!\!\!\!\!\overset{y = \tan \theta}{=\! =\! =\! =\! =\!} 2 \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}y}{a + b y^2} \\  
&= \frac{\pi}{\sqrt{ab}}  
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12509
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παραμετρικό ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 04, 2020 12:13 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Απρ 04, 2020 11:14 am
Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής t \mapsto a \cos^2 \theta + b \sin^2 \theta και έχουμε:
Ωραία αλλαγή μεταβλητής. Την ήξερα αλλά δεν την σκέφθηκα όταν επεξεργαζόμουν την άσκηση. Όμως, όπως γράφω στην αρχή του ποστ, υπάρχουν πολλοί τρόποι επίλυσης. Μπορώ να σκεφτώ τουλάχιστον άλλους δύο (ίσως τρεις). Ένας ωραίος είναι η αλλαγή μεταβλητής

\displaystyle{x=\sqrt {\dfrac {t-a}{b-t}}. Εδώ βγαίνει \displaystyle{t=\dfrac {bx^2+a}{x^2+1},\, b-t= \dfrac {b-a}{x^2+1}} και \displaystyle{\dfrac {dt}{dx}= \dfrac {2(b-a)x}{(x^2+1)^2}}.

Μας οδηγεί απευθείας στο τελευταίο ολοκλήρωμα, \displaystyle{ 2 \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{b x^2+a}}, της λύσης σου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες