Στερεομετρική...ανισότητα!

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Στερεομετρική...ανισότητα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Απρ 12, 2020 9:34 pm

Σε μια πυραμίδα ABCD οι γωνίες A\hat{D}B,B\hat{D}C,C\hat{D}A
είναι όλες ορθές. Αν M τυχαίο σημείο της ακμής AD και N
τυχαίο σημείο της ακμής BC τότε να αποδείξετε ότι ισχύει:
\frac{1}{MN^2} \leq \frac{1}{DB^2}+\frac{1}{DC^2}


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3115
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Στερεομετρική...ανισότητα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Απρ 12, 2020 10:16 pm

chris_gatos έγραψε:
Κυρ Απρ 12, 2020 9:34 pm
Σε μια πυραμίδα ABCD οι γωνίες A\hat{D}B,B\hat{D}C,C\hat{D}A
είναι όλες ορθές. Αν M τυχαίο σημείο της ακμής AD και N
τυχαίο σημείο της ακμής BC τότε να αποδείξετε ότι ισχύει:
\frac{1}{MN^2} \leq \frac{1}{DB^2}+\frac{1}{DC^2}
Αν τέτοια άσκηση την έβαζε κάποιος στη ΣΤ Γυμνασίου κάπου το 1976
οι περισσότεροι μαθητές θα γελούσαν.
(πάλι εύκολα μας έβαλε ο δάσκαλος θα έλεγαν από μέσα τους)
Αν θέλουμε σχήμα τότε απλά κάνουμε ενα τρεισορθογώνιο σύστημα με αρχή το D.

Αφού η AD είναι κάθετη στο επίπεδο DBC θα είναι MN \geq DN οπότε

\frac{1}{MN^{2}}\leq \frac{1}{DN^{2}}(1)

Αν στο ορθογώνιο τρίγωνο DBCτο ύψος είναι DH τότε

 \frac{1}{DN^{2}} \leq \frac{1}{DH^{2}}= \frac{1}{DB^2}+\frac{1}{DC^2}(2)

Από (1)και (2) το ζητούμενο.

Η ισότητα αν και μόνο αν M\equiv D,N\equiv H


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες