Ποιο είναι το πλήθος των ριζών;
Συντονιστής: chris_gatos
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Ποιο είναι το πλήθος των ριζών;
Ένα τρίτοβάθμιο πολυώνυμο έχει ρίζες τους αριθμούς και συνελεστή μεγιστοβαθμίου όρου . Πόσες πραγματικές ρίζες έχει το πολυώνυμο ;
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ποιο είναι το πλήθος των ριζών;
Είναι .
Θα δείξουμε ότι το έχει ρίζες. (Δηλαδή όλες πραγματικές.) Αρκεί να δείξουμε ότι το πολυώνυμο έχει τρεις ρίζες για κάθε . Πράγματι αν ένα από αυτά τα πολυώνυμα τότε και . Από τρεις εφαρμογές Bolzano παίρνουμε το ζητούμενο.
[Η ύπαρξη πολλαπλών ριζών αποκλείεται. Κάθε ένα από τα έχει τρεις διακεκριμένες ρίζες όπως έχουμε ήδη δείξει. Οι ρίζες τους είναι διαφορετικές μεταξύ τους αφού για είναι για κάθε .]
Θα δείξουμε ότι το έχει ρίζες. (Δηλαδή όλες πραγματικές.) Αρκεί να δείξουμε ότι το πολυώνυμο έχει τρεις ρίζες για κάθε . Πράγματι αν ένα από αυτά τα πολυώνυμα τότε και . Από τρεις εφαρμογές Bolzano παίρνουμε το ζητούμενο.
[Η ύπαρξη πολλαπλών ριζών αποκλείεται. Κάθε ένα από τα έχει τρεις διακεκριμένες ρίζες όπως έχουμε ήδη δείξει. Οι ρίζες τους είναι διαφορετικές μεταξύ τους αφού για είναι για κάθε .]
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Ποιο είναι το πλήθος των ριζών;
Γεια σαςDemetres έγραψε: ↑Τρί Δεκ 08, 2020 9:31 amΕίναι .
Θα δείξουμε ότι το έχει ρίζες. (Δηλαδή όλες πραγματικές.) Αρκεί να δείξουμε ότι το πολυώνυμο έχει τρεις ρίζες για κάθε . Πράγματι αν ένα από αυτά τα πολυώνυμα τότε και . Από τρεις εφαρμογές Bolzano παίρνουμε το ζητούμενο.
[Η ύπαρξη πολλαπλών ριζών αποκλείεται. Κάθε ένα από τα έχει τρεις διακεκριμένες ρίζες όπως έχουμε ήδη δείξει. Οι ρίζες τους είναι διαφορετικές μεταξύ τους αφού για είναι για κάθε .]
Δημήτρη ευχαριστώ για την σύντομη και κομψή λύση.
Η λύση που είχα κατα νου ήταν πιο μεγάλη. Περιληπτικά:
Με είναι και τα τοπικά ακρότατα είναι , συνεπώς αξιοποιώντας την μονοτονία βρίσκουμε ότι στο η παίρνει κάθε μία από τις τιμές δύο φορές και στο από μία. Το σύνολο 9 ρίζες.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες