Από ανισότητα σε ανισότητα.

#1

Έστω $x, y, z \in \mathbb{R}$ τέτοιοι ώστε να ισχύει: $sinx+siny+sinz \ge 2$ .
Να αποδείξετε ότι:
$cosx+cosy+cosz \le \sqrt{5}$ .

#2

Ορίζουμε $A=\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}$ και $B=\sin{x}+\sin{y}+\sin{z}$

Τότε από την τριγωνική ανισότητα: $\left|A+iB\right|\leq \left|\cos{x}+i\sin{x}\right|+\left|\cos{y}+i\sin{y}\right|+\left|\cos{z}+i\sin{z}\right|=3$

Έτσι $A^2+B^2\leq 9$ απ' όπου $A^2\leq 9-B^2 \leq 5$ κι έτσι έχουμε το ζητούμενο (και κατιτίς παραπάνω).

Αλέξανδρος

#3

Αλλιώς:

Από Cauchy-Schwarz:

$\displaystyle \sin^2{x} + \sin^2{y} + \sin^2{z} \geqslant \frac{(\sin{x} + \sin{y} + \sin{z})^2}{3} \geqslant \frac{4}{3}$

Άρα

$\displaystyle \cos^2{x} + \cos^2{y} + \cos^2{z} \leqslant 3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$

Επομένως πάλι από Cauchy-Schwarz:

$\displaystyle \cos{x} + \cos{y} + \cos{z} \leqslant \sqrt{3(\cos^2{x} + \cos^2{y} + \cos^2{z} )} \leqslant \sqrt{5}$

STOPJOHN · #4

chris_gatos έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 11, 2020 10:06 pm
Έστω $x, y, z \in \mathbb{R}$ τέτοιοι ώστε να ισχύει: $sinx+siny+sinz \ge 2$ .
Να αποδείξετε ότι:
$cosx+cosy+cosz \le \sqrt{5}$ .

Θετω $1-cos^{2}x=a,1-cos^{2}y=b,1-cos^{2}z=c$

Οπότε ισχύει

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 2$

και θα αποδειχθεί ότι

$\sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c}\leq \sqrt{5}$

H δοθείσα ανισότητα αποτην υπόθεση γράφεται $a+b+c\geq 4-2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}),(*),$

και ανάλογα η αποδεικτέα

$a+b+c\geq 2(\sqrt{(1-a)(1-b)}+\sqrt{(1-a)(1-c)}+\sqrt{(1-b)(1-c)})-2,(**)$

Συνεπώς αρκει να αποδειχθεί ότι

$3-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ac}\geq \sqrt{(1-a)(1-b)}+\sqrt{(1-a)(1-c)}+\sqrt{(1-b)(1-c)}$ (***)

Απο τη γνωστή ανισότητα Α-Γ-Μ

$\sqrt{a}\sqrt{b}\leq \dfrac{a+b}{2}, \sqrt{(1-a)(1-b)}\leq \dfrac{2-a-b}{2}$

και με πρόσθεση

$\sqrt{(1-a)(1-b)}+\sqrt{ab}\leq 1\Leftrightarrow \sqrt{(1-a)(1-b)}\leq 1-\sqrt{ab}$

και κυκλικά και οι άλλες δυο ανισότητες . Προσθέτοντας τις τρεις τελευταίες ανισότητες εχουμε την

(***)

ksofsa · #5

Καλημέρα!

Ακόμα μία λύση (με εις άτοπο απαγωγή):

Έστω ότι $cosx+cosy+cosz>\sqrt{5}$ .

Τότε:

(sinx+siny+sinz)^2+(cosx+cosy+cosz)^2>9

, άτοπο.

Άρα $cosx+cosy+cosz\leq \sqrt{5}$ .

#6

chris_gatos έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 11, 2020 10:06 pm
Έστω $x, y, z \in \mathbb{R}$ τέτοιοι ώστε να ισχύει: $sinx+siny+sinz \ge 2$ .
Να αποδείξετε ότι:
$cosx+cosy+cosz \le \sqrt{5}$ .

Έστω $a+b+c\ge 2$ όπου $a,b,c \in [-1,1]$ . Από την κοιλότητα της $\sqrt {1-x^2}$ (υπόψη δεν χρειάζεται να παραγωγίσουμε: Είναι ημικύκλιο) έχουμε

$\sqrt {1-a^2}+\sqrt {1-b^2}+\sqrt {1-c^2} \le 3\sqrt {1-\left (\frac { a+b+c}{3}\right )^2}\le 3\sqrt {1-\left (\frac { 2}{3})\right ^2}=\sqrt {5}$ , και λοιπά.

#7

Ας υποθέσουμε προσωρινά ότι οι γωνίες είναι στο πρώτο τεταρτημόριο. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να εφαρμόσουμε την Jensen στις $\sin$ και $\cos$ . Έχουμε λοιπόν.

$2\le \sin x + \sin y + \sin z\le 3 \sin \dfrac {x+y+z}{3}$ οπότε

$\cos x + \cos y + \cos z \le 3 \cos \dfrac {x+y+z}{3} =3 \sqrt { 1-\sin ^2\dfrac {x+y+z}{3} } \le 3 \sqrt { 1- \left ( \dfrac {2}{3}\right )^2 } =\sqrt 5$ , όπως θέλαμε.

Γενικά, τώρα.

Χωρίς βλάβη, λόγω περιοδικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι γωνίες είναι στο διάστημα $[0,\, 2\pi)$ . Επίσης, δεδομένης μιας τέτοιας

(όμοια για τις υπόλοιπες) θεωρούμε γωνία x_0

του πρώτου τεταρτημορίου για την οποία ισχύει $\sin x = \pm \sin x_0$ . Για παράδειγμα αν η

είναι στο β' τεταρτημόριο παίρνουμε $x_0=\pi -x$ , αν είναι στο τρίτο παίρνουμε $x_0=x-\pi$ και στο τέταρτο παίρνουμε $x_0=2\pi -x$ . Σε όλες τις περιπτώσεις έχουμε $\sin x =\pm \sin x_0$ αλλά και επίσης $\cos x =\pm \cos x_0$ . Ειδικά έχουμε $\sin x \le \sin x_0,\, \cos x \le \cos x_0\, (*)$ αφού το εκάστοτε δεξί μέλος είναι $\ge 0$ ενώ το αριστερό είναι ίσο του ή αντίθετο. Άρα

$2\le \sin x + \sin y + \sin z \le ^{(*)} \sin x_0 + \sin y_0 + \sin z_0$ οπότε με χρήση αυτού που μόλις αποδείξαμε, έχουμε

$\cos x + \cos y + \cos z \le ^{(*)} \cos x_0 + \cos y_0 + \cos z_0 \le \sqrt 5$ , όπως θέλαμε.

Από ανισότητα σε ανισότητα.

Από ανισότητα σε ανισότητα.

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα.

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα.

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα.

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα.

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα.

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα.

Μέλη σε σύνδεση