Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.

#1

Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών την εξίσωση:
$4\left [ \left ( 1-x \right )^2+\left ( x-y \right )^2+\left ( y-w \right )^2+w^2 \right ]=1$

#2

chris_gatos έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 14, 2020 8:01 pm
Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών την εξίσωση:
$4\left [ \left ( 1-x \right )^2+\left ( x-y \right )^2+\left ( y-w \right )^2+w^2 \right ]=1$

$1 = (1-x)+(x-y)+(y-w)+w \le \sqrt {1+1+1+1} \sqrt {\left ( 1-x \right )^2+\left ( x-y \right )^2+\left ( y-w \right )^2+w^2} =$

$= 2 \cdot \dfrac {1}{2}=1$

οπότε έχουμε ισότητα παντού, και ειδικά στην C-S

. Έπεται (άμεσο) ότι $1-x=x-y=y-w=w= \frac {1}{4}$ και άρα $x= \frac {3}{4},\, y= \frac {1}{2},\, w= \frac {1}{4}$

S.E.Louridas · #3

$\overrightarrow a \left( {1,1,1,1} \right),\;\overrightarrow b = \left( {1 - x,x - y,y - w,w} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1 \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1$ $\Rightarrow \overrightarrow a \uparrow \uparrow \overrightarrow b,$
οπότε έχουμε 1 - x = x - y = y - w = w...

#4

Μία με ύλη Α΄Λυκείου μεν με περισσότερη δουλειά δε:
Η εξίσωση γράφεται:
$8w^{2}-8yw+\left[ 4\left( 1-x\right) ^{2}+4\left( x-y\right) ^{2}+4y^{2}-1\right] =0$
και θεωρούμενη ως εξίσωση με άγνωστο

έχει διακρίνουσα:
$\Delta _{1}=32\left( -6y^{2}+8xy-4\left( 1-x\right) ^{2}-4x^{2}+1\right)$
η οποία πρέπει να είναι μη αρνητική.
Το $-6y^{2}+8xy-4\left( 1-x\right) ^{2}-4x^{2}+1$ θεωρούμενο ως τριώνυμο του

έχει διακρίνουσα
$\Delta _{2}=-8\left( 4x-3\right) ^{2}$
που επίσης πρέπει να είναι μη αρνητική.
Άρα $x=\frac{3}{4}$ οπότε
$\Delta _{1}=-48\left( 2y-1\right) ^{2}$
και $y=\frac{1}{2}$ .
Για αυτές τις τιμές των

,

η αρχική εξίσωση δίνει $w=\frac{1}{4}$ .

Την λύση την έγραψα πιο πολύ ως μια ακόμη απόδειξη της σημασίας που έχει η θεωρητική γνώση για να ευκολύνουμε την ζωή μας όπως, στη συγκεκριμένη περίπτωση, έδειξαν οι λύσεις του Μιχάλη και του Σωτήρη.

#5

Καλησπέρα σας!
Είδα καλή παρέα και μπήκα!
Αισθάνθηκα σαν να περπατούσα στην παλιά μου γειτονιά και να είδα φίλους καλούς που με κάλεσαν στο τραπέζι τους!

Θέτω a=1-x,

Τότε

Άρα

οπότε

$a=b=c=d=\dfrac{1}{4}$

$(x,y,w)=(\dfrac{3}{4},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}).$

#6

Ξαναγράφω την λύση που έδωσα αλλά τώρα προσαρμοσμένη σε γνώσεις Α' Λυκείου ώστε να είναι χρήσιμη σε περισσότερους.
Θα χησιμοποιήσω μόνο την ανισότητα $2(p^2+q^2) \ge (p+q)^2$ με ισότητα αν και μόνον αν p=q

(ισοδυναμεί με την $(p-q)^2\ge 0$ ).

Για $a=1-x,\,\,$ $b=x-y,\,\,$ $c=y-w,\,\,$ d=w

, οπότε

, έχουμε

$1= 4(a^2+b^2+c^2+d^2)\ge 2(a+b)^2+2(c+d)^2\ge (a+b+c+d)^2=1$

άρα έχουμε ισότητα παντού. Ειδικά από την πρώτη ανισότητα έχουμε a=b

και

και από την δεύτερη a+b=c+d

, οπότε τελικά a=b=c=d

, και λοιπά.

S.E.Louridas · #7

Πάντα στο πνεύμα του Μαθηματικού πλουραλισμού επιλύσων.
Με βάση την ταυτότητα του Lagrange, για n=4

( Σε τέως βιβλίο Άλγεβρας της Α' Λυκείου (Δ' λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης) των Θ.Βαβαλέτσκου, Γ. Μπούσγου του ΟΕΔΒ), που ξεκινούσε με το κεφάλαιο Μαθηματική Λογική (υποχρεωτική η διδασκαλία της και η εξέταση της) εύκολα παίρνουμε:

${\left( {x - y + 1 + x} \right)^2} + {\left( {y - w - 1 + x} \right)^2} + {\left( {w - 1 + x} \right)^2} + {\left( {y - w - x + y} \right)^2} +$ ${\left( {w - x + y} \right)^2} + {\left( {w - y + w} \right)^2} = 0...$

(*) Ταυτότητα Lagrange:
$\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {b_i^2} } \right) - {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{b_i}} } \right)^2} = \sum\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant n,i \ne j}^n {{{\left( {{x_i}{y_j} - {x_j}{y_i}} \right)}^2}} ,$ ${x_i},{y_j} \in {\Cal R},\;n \geqslant 2.$

#8

Και οι επτά (Θέμα και λύσεις ) είναι υπέροχες !

KARKAR · #9

: Τρεις άγνωστοι.png (12.91 KiB) Προβλήθηκε 1167 φορές

Θεωρώ το ορθογώνιο OATB

, με

. Υπάρχει σημείο εσωτερικό

του

, τέτοιο

ώστε : OS=y

. Για το σημείο

, ισχύει ότι : $(x-y)^2+w^2+(1-x)^2+(y-w)^2=\dfrac{1}{4}$ ( η δοθείσα ) .

Θα δείξουμε ότι το μέσο του

του τμήματος

, δίνει μία λύση του προβλήματος . Πράγματι :

ST^2=(SM+MT)^2

, ή : $(1-y)^2+y^2=SM^2+MT^2+2SM\cdot MT=\dfrac{1}{2}$ , ισοδύναμα :

$4y^2-4y+1=0\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{2}$ , (

μέσο του

) , οπότε : $x=\dfrac{3}{4} , w=\dfrac{1}{4}$ .

Φυσικά τα παραπάνω δεν αποτελούν λύση του προβλήματος , παρά μια προσπάθεια γεωμετρικής
ερμηνείας ( μάλλον όχι επιτυχούς ) , αλλά την αφήνω : ίσως κάποιος διαβλέψει κάτι

ksofsa · #10

Καλησπέρα!

Άλλη μια γεωμετρική προσέγγιση:

Θεωρώ τρίγωνο ABC

, με

.

Έστω

το μέσο του

.

Ισχύουν :

AB^2=(x-y)^2+(y-w)^2

και

και άρα

$AB^2+BC^2=\dfrac{1}{4}$ .

Από το 1ο θεώρημα διαμέσων έχω:

$4BN^2=2AB^2+2BC^2-CA^2\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}-(1-y)^2-y^2=4BN^2$ .

Άρα,

$\dfrac{1}{2}-(1-y)^2-y^2\geq 0\Leftrightarrow 4y^2-4y+1\leq 0\Leftrightarrow (2y-1)^2\leq 0\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}$

και $B\equiv N$ .

Άρα, $B=(\dfrac{y+1}{2},\dfrac{y}{2})=(\dfrac{3}{4},\dfrac{1}{4})$ .

Τελικά

$(x,y,w)=(\dfrac{3}{4},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4})$ .

#11

Καλησπέρα σε όλους. Φαντάζομαι δεν θα περιμένει κι άλλη λύση ο Χρήστος, απλώς να κάνω μια ιστορική αναδρομή.

Τα παλιότερα χρόνια, όταν τα προβλήματα min-max λυνόταν με αλγεβρικές μεθόδους, εφαρμοζόταν, μεταξύ των άλλων, και το θεώρημα:

Όταν το άθροισμα θετικών μεταβλητών είναι σταθερό, το άθροισμα των τετραγώνων τους παίρνει την ελάχιστη τιμή τους όταν είναι ίσοι μεταξύ τους, (αν μπορεί αυτό να συμβεί).

Εδώ, λοιπόν, το πρώτο που κοιτάς είναι αν η ισότητα θα συμβεί σε μια ακραία τιμή.

παρατηρούμε ότι είναι $\left( {1 - x} \right) + \left( {x - y} \right) + \left( {y - w} \right) + w = 1$ ,

Άρα έχουμε $\displaystyle \min \left\{ {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - w} \right)}^2} + {w^2}} \right\}$ , όταν

$\left\{ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;y - w = w \Leftrightarrow y = 2w\\ x - y = y - w \Leftrightarrow x = 2y - w\\ \;1 - x = x - y \Leftrightarrow y = 2x - 1 \end{array} \right. & \Leftrightarrow \left\{ {x = \frac{3}{4},\;\;y = \frac{2}{4},\;\;w = \frac{1}{4}} \right.$

Παρατηρούμε ότι το minimum είναι ίσο με $\displaystyle \frac{1}{4}$ , άρα οι παραπάνω τιμές των x, y, z

είναι οι μοναδικές λύσεις της δοθείσης εξίσωσης.

Ουσιαστικά είναι εφαρμογή της ανισότητας που χρησιμοποίησε ο Μιχάλης παραπάνω.

$4\left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2} + {\gamma ^2} + {\delta ^2}} \right) \ge {\left( {\alpha + \beta + \gamma + \delta } \right)^2} = 1$

(γενικότερα) $\displaystyle \nu \left( {\alpha _1^2 + \alpha _2^2 + \;...\; + \alpha _\nu ^2} \right) \ge {\left( {{\alpha _1} + \;{\alpha _2} + \;...\; + {\alpha _\nu }} \right)^2}$

Δεν γνωρίζω αν οι συγγραφείς σχολικών και φροντιστηριακών συγγραμμάτων της εποχής χρησιμοποίησαν στην απόδειξη του θεωρήματος τις παραπάνω ανισότητες. Δεν τις συναντάμε συχνά στη βιβλιογραφία της εποχής, (τουλάχιστον στα σχολικά μαθηματικά). Επιπλέον, παρατηρήστε, ότι απαιτούν οι όροι να είναι θετικοί, δίχως αυτό να είναι πάντα απαραίτητο.

#12

Μένω άναυδος από την παροχή λύσεων!
Μαγεία!
Ευχαριστώ όλους όσους ασχολήθηκαν!
Υ.Γ: Η άσκηση αντλήθηκε από ένα παλιό θαυματουργό βιβλιαράκι με τίτλο "Τριώνυμο" και συγγραφέα τον Δημήτρη Μάγκο .

Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.

Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.

Re: Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.

Re: Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.

Re: Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.

Re: Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.

Re: Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.

Re: Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.

Re: Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.

Re: Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.

Re: Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.

Re: Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.

Re: Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.

Μέλη σε σύνδεση