Παράμετρος και ελαχιστοποίηση

#1

Να βρείτε για ποια τιμή της παραμέτρου $\alpha$ ελαχιστοποιείται το ολοκλήρωμα:

$\int_{0}^{4}\left | x(4-x)-\alpha \right |dx$

BAGGP93 · #2

Καλημέρα. Για $x\in\left[0,4\right]$ έχουμε $x\,(4-x)-a=4\,x-x^2-4+(4-a)=4-a-(x-2)^2$ .

Αν $a\geq 4$ τότε $x\,(4-x)-a\leq 0$ και κατα συνέπεια το ολοκλήρωμα ισούται με

$\displaystyle{\int_{0}^{4}\left((x-2)^2+a-4\right)\,\mathrm{d}x=4\,(a-4)+\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{0}^{4}=4\,(a-4)+\dfrac{16}{3}=4\,a-\dfrac{32}{3}}$

Αν $a\leq 0$ τότε για $x\in\left[0,4\right]$ έχουμε $x\,(4-x)\geq 0$ , άρα $x\,(4-x)-a\geq 0$ , οπότε στην περίπτωση αυτή το ολοκλήρωμα ισούται με

$\displaystyle{\int_{0}^{4}\left(x\,(4-x)-a\right)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{4}\left(4-a-(x-2)^2\right)\,\mathrm{d}x=4\,(4-a)-\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{0}^{4}=4\,(4-a)-\dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}-4\,a}$

Η τελευταία περίπτωση είναι η 0<a<4

όπου τώρα οι ρίζες της ολοκληρωτέας είναι οι $x_1=2-\sqrt{4-a}\in\left(0,2\right)\,,x_2=2+\sqrt{4-a}\in\left(2,4\right)$ και "σπάμε" το ολοκλήρωμα ως εξής:

$\begin{aligned}I&=\int_{0}^{x_1}\left((x-2)^2+a-4\right)\,\mathrm{d}x+\int_{x_1}^{x_2}\left(4-a-(x-2)^2\right)\,\mathrm{d}x+\int_{x_2}^{4}\left((x-2)^2+a-4\right)\,\mathrm{d}x\\&=x_1\,(a-4)+\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{0}^{x_1}+(x_2-x_1)\,(4-a)-\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{x_1}^{x_2}+(4-x_2)(a-4)+\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{x_2}^{4}\\&=2\,(x_1-x_2)\,(a-4)+\dfrac{(x_1-2)^3}{3}+\dfrac{8}{3}-\dfrac{(x_2-2)^3}{3}+\dfrac{(x_1-2)^3}{3}+\dfrac{8}{3}-\dfrac{(x_2-2)^3}{3}+4\,(a-4)\\&=4\,(4-a)\,\sqrt{4-a}+\dfrac{16}{3}-\dfrac{2}{3}\,(4-a)\,\sqrt{4-a}-\dfrac{2}{3}\,(4-a)\,\sqrt{4-a}+4\,(a-4)\\&=\dfrac{8}{3}\,(4-a)\,\sqrt{4-a}+\dfrac{16}{3}+4\,(a-4)\end{aligned}$

Συνπτικά, $I(a)=\begin{cases} 32/3-4\,a\,\,\,,a\leq 0\\ 8/3\,(4-a)\,\sqrt{4-a}+4\,a-32/3\,\,\,\,,0<a<4\\ 4\,a-32/3\,\,\,,a\geq 4\end{cases}$

Μελετώντας την ως προς τη μονοτονία, βλεπουμε ότι η παράγωγος είναι αρνητική στo $\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,3\right)$ και θετική στo $\left(3,4\right)\cup\left(4,+\infty\right)$

και ενώ είναι συνεχής στα σημεία $x=0\,,x=4$ δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτά, οπότε η ελάχιστη τιμή της

παρουσιάζεται στο a=3

και ισούται με I(3)=4

ΥΓ. Μήπως πήγα μέσω Λαμίας ;

Παράμετρος και ελαχιστοποίηση

Παράμετρος και ελαχιστοποίηση

Re: Παράμετρος και ελαχιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση