Τρίγωνο και τριγωνομετρία!

#1

Αν σε ένα τρίγωνο $AB\Gamma$ ισχύουν οι σχέσεις:
$2tanB=tanA+tan\Gamma (1)$
και
$\left | cos(A-\Gamma) \right |<\frac{1}{5}$
τότε να αποδείξετε ότι:
$-\frac{1}{10}<cosB<\frac{1}{10}$ .

Χρόνια πολλά και καλές γιορτές!

#2

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 24, 2020 8:38 pm
Αν σε ένα τρίγωνο $AB\Gamma$ ισχύουν οι σχέσεις:
$2tanB=tanA+tan\Gamma (1)$
και
$\left | cos(A-\Gamma) \right |<\frac{1}{5}$
τότε να αποδείξετε ότι:
$-\frac{1}{10}<cosB<\frac{1}{10}$ .

Χρόνια πολλά και καλές γιορτές!

Καλησπέρα σε όλους και Χρόνια Πολλά!
Χρήστο, το έλεγξα, αλλά δεν εντοπίζω αν έχω κάπου λάθος. Το αφήνω να το δουν κι άλλα μάτια!

To ABC

δεν είναι ορθογώνιο.

$\displaystyle \left( 1 \right):\;\;\;\varepsilon \varphi {\rm B} = \frac{{\varepsilon \varphi {\rm A} + \varepsilon \varphi \Gamma }}{2} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \left( {180^\circ - \left( {{\rm A} + \Gamma } \right)} \right) = \frac{{\varepsilon \varphi {\rm A} + \varepsilon \varphi \Gamma }}{2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow - \varepsilon \varphi \left( {{\rm A} + \Gamma } \right) = \frac{{\varepsilon \varphi {\rm A} + \varepsilon \varphi \Gamma }}{2} \Leftrightarrow \frac{{\varepsilon \varphi {\rm A} + \varepsilon \varphi \Gamma }}{{\varepsilon \varphi {\rm A}\varepsilon \varphi \Gamma - 1}} = \frac{{\varepsilon \varphi {\rm A} + \varepsilon \varphi \Gamma }}{2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \varepsilon \varphi {\rm A}\varepsilon \varphi \Gamma = 3 \Leftrightarrow \eta \mu {\rm A}\eta \mu \Gamma = 3\sigma \upsilon \nu {\rm A}\sigma \upsilon \nu \Gamma$ (3)

$\displaystyle \left| {\sigma \upsilon \nu \left( {{\rm A} - \Gamma } \right)} \right| < \frac{1}{5} \Leftrightarrow \left| {\sigma \upsilon \nu {\rm A}\sigma \upsilon \nu \Gamma + \eta \mu {\rm A}\eta \mu \Gamma } \right| < \frac{1}{5}$ ,
οπότε, λόγω της (3) είναι $\displaystyle \left| {2\sigma \upsilon \nu {\rm A}\sigma \upsilon \nu \Gamma } \right| < \frac{1}{{10}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left| {\sigma \upsilon \nu \left( {{\rm A} - \Gamma } \right) + \sigma \upsilon \nu \left( {{\rm A} + \Gamma } \right)} \right| < \frac{1}{{10}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left| {\sigma \upsilon \nu \left( {{\rm A} - \Gamma } \right) + \sigma \upsilon \nu \left( {180^\circ - {\rm B}} \right)} \right| < \frac{1}{{10}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow - \frac{1}{{10}} < \sigma \upsilon \nu B - \sigma \upsilon \nu \left( {{\rm A} - \Gamma } \right) < \frac{1}{{10}}$ (4)

$\left| {\sigma \upsilon \nu (A - \Gamma )} \right| < \frac{1}{5} \Leftrightarrow - \frac{1}{5} < \sigma \upsilon \nu \left( {{\rm A} - \Gamma } \right) < \frac{1}{5}$ (5)

Προσθέτοντας τις (4) και (5) έχουμε

$\displaystyle \Leftrightarrow - \frac{3}{{10}} < \sigma \upsilon \nu {\rm B} < \frac{3}{{10}}$

edit: Εγώ δημιούργησα το σφάλμα, όταν πρόσθεσα τις δύο ανισότητες. Βρήκα έτσι κάποια άνω - κάτω φράγματα αλλά, υπήρχαν καλύτερα. Ευχαριστώ τον Γιάννη για την υπόδειξη. Το σωστό τελικό βήμα περιγράφεται στις λύσεις του Γιάννη και του Μανώλη παρακάτω.
Με την ευκαιρία, Χρόνια πολλά εύχομαι στον Χρήστο και στον Μανώλη που εορτάζουν σήμερα, Χριστούγεννα. Ο Γιάννης θα περιμένει λίγες μέρες. Δεν είναι κάθε μέρα του Άη Γιάννη.

STOPJOHN · #3

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 24, 2020 8:38 pm
Αν σε ένα τρίγωνο $AB\Gamma$ ισχύουν οι σχέσεις:
$2tanB=tanA+tan\Gamma (1)$
και
$\left | cos(A-\Gamma) \right |<\frac{1}{5}$
τότε να αποδείξετε ότι:
$-\frac{1}{10}<cosB<\frac{1}{10}$ .

Χρόνια πολλά και καλές γιορτές!

Καλησπέρα και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

$2tanB=tanA+tan\Gamma \Leftrightarrow -2tan(A+\Gamma )=tanA+tan\Gamma \Leftrightarrow (tan A+tan \Gamma )(3-tanAtan\Gamma )=0\Leftrightarrow tanA.tan\Gamma =3 ,tanA\neq -tan\Gamma$

Αρα 3cosA.cosB=sinA.sinB,(*)

$(2),(*)\Rightarrow -\dfrac{1}{10}< 2cosAcos\Gamma < \dfrac{1}{10},$

Αρκει να αποδείξω ότι $cosB=2cosAcos\Gamma ,(**)$

Πράγματι

$cosB=-cos(A+\Gamma )=-cosAcos\Gamma +sinAsin\Gamma =2cosAcos\Gamma$ ,

λόγω της (*)

Manolis Petrakis · #4

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ
Είναι tanA+tanC=tanAtanBtanC-tanB

Έτσι η $2tanB=tanA+tanC\Leftrightarrow tanAtanC=3$
$\Leftrightarrow sinAsinC=3cosAcosC\Leftrightarrow cos(A-C)-cos(A+C)=3[cos(A+C)+cos(A-C)]$
$\Leftrightarrow cos(A+C)=-\dfrac{1}{2}cos(A-C)$
$\Leftrightarrow cosB=\dfrac{1}{2}cos(A-C)$
Αλλά από την υπόθεση: $|cosB|=|\dfrac{1}{2}cos(A-C)|<\dfrac{1}{10}$ και το ζητούμενο έπεται

Τρίγωνο και τριγωνομετρία!

Τρίγωνο και τριγωνομετρία!

Re: Τρίγωνο και τριγωνομετρία!

Re: Τρίγωνο και τριγωνομετρία!

Re: Τρίγωνο και τριγωνομετρία!

Μέλη σε σύνδεση