Συγγραμικότητα σε ρόμβο.

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6911
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Συγγραμικότητα σε ρόμβο.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Ιαν 16, 2021 5:37 pm

Έστω ο ρόμβος AB\Gamma\Delta. Πάνω στις πλευρές AB, A\Delta θεωρούμε τα σημεία
E, Z αντιστοίχως τέτοια, ώστε AE=\Delta Z.
Αν ονομάσουμε K την τομή των B\Gamma, \Delta E και \Lambda την τομή των
\Gamma \Delta, BZ τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία A, K, \Lambda είναι συνευθειακά.


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10190
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συγγραμικότητα σε ρόμβο.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 16, 2021 6:25 pm

chris_gatos έγραψε:
Σάβ Ιαν 16, 2021 5:37 pm
Έστω ο ρόμβος AB\Gamma\Delta. Πάνω στις πλευρές AB, A\Delta θεωρούμε τα σημεία
E, Z αντιστοίχως τέτοια, ώστε AE=\Delta Z.
Αν ονομάσουμε K την τομή των B\Gamma, \Delta E και \Lambda την τομή των
\Gamma \Delta, BZ τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία A, K, \Lambda είναι συνευθειακά.
Συγγραμμικότητα σε ρόμβο.png
Συγγραμμικότητα σε ρόμβο.png (13.06 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές
\displaystyle \frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{DZ}}{{ZA}} = \frac{{LD}}{{AB}} = \frac{{LD}}{{DC}} κι επειδή LC||AB οι DE, CB, LA αποτελούν κεντρική δέσμη και το ζητούμενο έπεται.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2010
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Συγγραμικότητα σε ρόμβο.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Ιαν 17, 2021 9:51 pm

chris_gatos έγραψε:
Σάβ Ιαν 16, 2021 5:37 pm
Έστω ο ρόμβος AB\Gamma\Delta. Πάνω στις πλευρές AB, A\Delta θεωρούμε τα σημεία
E, Z αντιστοίχως τέτοια, ώστε AE=\Delta Z.
Αν ονομάσουμε K την τομή των B\Gamma, \Delta E και \Lambda την τομή των
\Gamma \Delta, BZ τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία A, K, \Lambda είναι συνευθειακά.
Το ισοδύναμο πρόβλημα : Εστω ότι τα σημεία K,A,\Lambda θα αποδειχθεί ότι

Z\Delta =EA,

Εστω ότι Z\Delta =x,AE=\psi ,AZ=a-x,BE=a-\psi ,


KB//AD\Rightarrow \dfrac{x}{KB}=\dfrac{N\Delta }{KN},(1), AE//\Delta \Lambda \Rightarrow \dfrac{KA}{KL}=\dfrac{\psi }{\Delta \Lambda },(2),

 \dfrac{a}{\Delta \Lambda }=\dfrac{a-x}{x}\Leftrightarrow \Delta \Lambda =\dfrac{ax}{a-x},(4), \dfrac{a-\psi 

}{\psi }=\dfrac{KB}{a}\Leftrightarrow KB=\dfrac{a(a-\psi )}{\psi },(3)

Στο τρίγωνο KA\Delta με τέμνουσα

NZ\Lambda ,

\dfrac{x}{a-x}\dfrac{A\Lambda }{K\Lambda }\dfrac{KN}{N\Delta }=1,(*),

 (1),(2),(3),(4),(*)\Rightarrow

 \psi (a-x)(x-\psi )=a^{2}(x-\psi )\Leftrightarrow x=\psi ,\psi (a-x)=a^{2}
Η τελευταία σχέση απορρίπτεται γιατί

y(a-x)=a^{2}\Leftrightarrow a(a-\psi )=-yx,a> \psi

είναι αδύνατη
Συνημμένα
Συγγραμμικότητα σε ρόμβο.png
Συγγραμμικότητα σε ρόμβο.png (21.7 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1972
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Συγγραμικότητα σε ρόμβο.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιαν 17, 2021 11:00 pm

chris_gatos έγραψε:
Σάβ Ιαν 16, 2021 5:37 pm
Έστω ο ρόμβος AB\Gamma\Delta. Πάνω στις πλευρές AB, A\Delta θεωρούμε τα σημεία
E, Z αντιστοίχως τέτοια, ώστε AE=\Delta Z.
Αν ονομάσουμε K την τομή των B\Gamma, \Delta E και \Lambda την τομή των
\Gamma \Delta, BZ τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία A, K, \Lambda είναι συνευθειακά.

Οι πράσινες γωνίες του σχήματος είναι ίσες και ισχύει \dfrac{LD}{AB} = \dfrac{DZ}{ZA}= \dfrac{AE}{EB}= \dfrac{AD}{KB}

Άρα  \triangle ADL \simeq  \triangle ABK \Rightarrow  \angle DAL= \angle BKA  που αποδεικνύει το ζητούμενο
Συγγραμμικότητα σε ρόμβο.png
Συγγραμμικότητα σε ρόμβο.png (11.36 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης