Συγγραμικότητα σε ρόμβο.

#1

Έστω ο ρόμβος $AB\Gamma\Delta$ . Πάνω στις πλευρές $AB, A\Delta$ θεωρούμε τα σημεία
E, Z

αντιστοίχως τέτοια, ώστε $AE=\Delta Z$ .
Αν ονομάσουμε

την τομή των $B\Gamma, \Delta E$ και $\Lambda$ την τομή των
$\Gamma \Delta, BZ$ τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία $A, K, \Lambda$ είναι συνευθειακά.

#2

chris_gatos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 16, 2021 5:37 pm
Έστω ο ρόμβος $AB\Gamma\Delta$ . Πάνω στις πλευρές $AB, A\Delta$ θεωρούμε τα σημεία
αντιστοίχως τέτοια, ώστε $AE=\Delta Z$ .
Αν ονομάσουμε την τομή των $B\Gamma, \Delta E$ και $\Lambda$ την τομή των
$\Gamma \Delta, BZ$ τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία $A, K, \Lambda$ είναι συνευθειακά.

: Συγγραμμικότητα σε ρόμβο.png (13.06 KiB) Προβλήθηκε 307 φορές

$\displaystyle \frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{DZ}}{{ZA}} = \frac{{LD}}{{AB}} = \frac{{LD}}{{DC}}$ κι επειδή LC||AB

οι

αποτελούν κεντρική δέσμη και το ζητούμενο έπεται.

STOPJOHN · #3

chris_gatos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 16, 2021 5:37 pm
Έστω ο ρόμβος $AB\Gamma\Delta$ . Πάνω στις πλευρές $AB, A\Delta$ θεωρούμε τα σημεία
αντιστοίχως τέτοια, ώστε $AE=\Delta Z$ .
Αν ονομάσουμε την τομή των $B\Gamma, \Delta E$ και $\Lambda$ την τομή των
$\Gamma \Delta, BZ$ τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία $A, K, \Lambda$ είναι συνευθειακά.

Το ισοδύναμο πρόβλημα : Εστω ότι τα σημεία $K,A,\Lambda$ θα αποδειχθεί ότι

$Z\Delta =EA,$

Εστω ότι $Z\Delta =x,AE=\psi ,AZ=a-x,BE=a-\psi ,$

$KB//AD\Rightarrow \dfrac{x}{KB}=\dfrac{N\Delta }{KN},(1), AE//\Delta \Lambda \Rightarrow \dfrac{KA}{KL}=\dfrac{\psi }{\Delta \Lambda },(2), \dfrac{a}{\Delta \Lambda }=\dfrac{a-x}{x}\Leftrightarrow \Delta \Lambda =\dfrac{ax}{a-x},(4), \dfrac{a-\psi }{\psi }=\dfrac{KB}{a}\Leftrightarrow KB=\dfrac{a(a-\psi )}{\psi },(3)$

Στο τρίγωνο $KA\Delta$ με τέμνουσα

$NZ\Lambda , \dfrac{x}{a-x}\dfrac{A\Lambda }{K\Lambda }\dfrac{KN}{N\Delta }=1,(*), (1),(2),(3),(4),(*)\Rightarrow \psi (a-x)(x-\psi )=a^{2}(x-\psi )\Leftrightarrow x=\psi ,\psi (a-x)=a^{2}$
Η τελευταία σχέση απορρίπτεται γιατί

$y(a-x)=a^{2}\Leftrightarrow a(a-\psi )=-yx,a> \psi$

είναι αδύνατη

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

chris_gatos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 16, 2021 5:37 pm
Έστω ο ρόμβος $AB\Gamma\Delta$ . Πάνω στις πλευρές $AB, A\Delta$ θεωρούμε τα σημεία
αντιστοίχως τέτοια, ώστε $AE=\Delta Z$ .
Αν ονομάσουμε την τομή των $B\Gamma, \Delta E$ και $\Lambda$ την τομή των
$\Gamma \Delta, BZ$ τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία $A, K, \Lambda$ είναι συνευθειακά.

Οι πράσινες γωνίες του σχήματος είναι ίσες και ισχύει $\dfrac{LD}{AB} = \dfrac{DZ}{ZA}= \dfrac{AE}{EB}= \dfrac{AD}{KB}$

Άρα $\triangle ADL \simeq \triangle ABK \Rightarrow \angle DAL= \angle BKA$ που αποδεικνύει το ζητούμενο

: Συγγραμμικότητα σε ρόμβο.png (11.36 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές

Συγγραμικότητα σε ρόμβο.

Συγγραμικότητα σε ρόμβο.

Re: Συγγραμικότητα σε ρόμβο.

Re: Συγγραμικότητα σε ρόμβο.

Re: Συγγραμικότητα σε ρόμβο.

Μέλη σε σύνδεση