Άθροισμα αντίστροφων φυσικών αριθμών

#1

Έστω

μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί των οποίων οι αντίστροφοι έχουν άθροισμα μεγαλύτερο ή ίσο του

.
Να αποδείξετε ότι τουλάχιστον δύο από αυτούς τους αριθμούς είναι ίσοι.

#2

Υποθέτουμε ότι είναι άνισοι ανά δύο, οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι ισχύει $\displaystyle{x_j\geq j.}$

Τότε

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{1000}\frac{1}{x_k}<\sum_{k=1}^{1000}\frac{1}{k}\approx 0.577 +\ln 1000=0.577+3\ln 10<0.577+3\cdot 3<10,}$ άτοπο.

#3

Λίγο διαφορετικά στον υπολογισμό του αθροίσματος:

Επαγωγικά μπορούμε να δείξουμε ότι $\displaystyle \sum_{r=1}^{2^n-1} \frac{1}{r} < n$ για κάθε $n \geqslant 2$ : Για n=2

είναι προφανές ενώ για το επαγωγικό βήμα, αν η πρόταση ισχύει για n=k

τότε ισχύει και για n=k+1

αφού

$\displaystyle \sum_{r=1}^{2^{k+1}-1} \frac{1}{r} = \sum_{r=1}^{2^n-1} \frac{1}{r} + \sum_{r=2^k}^{2^{k+1}-1} \frac{1}{r} < k + \sum_{r=2^k}^{2^{k+1}-1} \frac{1}{2^k} = k+1$

Συνεπώς

$\displaystyle \sum_{k=1}^{1000} \frac{1}{k} < \sum_{k=1}^{1023} \frac{1}{k} < 10$

#4

Ας αναφερθεί ακόμα ότι μια υπολογιστική μηχανή μας δείχνει ότι ισχύει

$\displaystyle{\underbrace{\sum_{n=1}^{12366}\frac{1}{n}}_{=9,999962...}<10<\underbrace{\sum_{n=1}^{12367}\frac{1}{n}}_{=10,000043...}}$

#5

Αξίζει να αναφερθούμε και στο άρθρο Partial sums of the Harmonic Series των R. P. Boas Jr. και J. W. Wrench Jr.

Έστω πραγματικός αριθμός $A \geqslant 3$ . Γράφουμε n_A

για τον ελάχιστο φυσικό αριθμό

ώστε $1 + \frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\cdots + \frac{1}{n} > A$ . Γράφουμε επίσης $\gamma$ για τη σταθερά του Euler $\gamma \approx 0.5772156649\ldots$ . Ας γράψουμε επίσης $m_A = e^{A-\gamma} + \frac{1}{2}$ .

Τότε σύμφωνα με το πιο πάνω άρθρο έχουμε ότι $\displaystyle n_A =\left\lfloor m_A \right\rfloor$ ή $\displaystyle n_A =\left\lfloor m_A \right\rfloor + 1$ Μάλιστα συνήθως θα έχουμε $\displaystyle n_A =\left\lfloor m_A \right\rfloor$ εκτός από κάποιες «σπάνιες» περιπτώσεις όπου ο m_A

είναι πολύ κοντά σε έναν ακέραιο.

Πιο συγκεκριμένα, γράφοντας $\{m_A\}$ για το κλασματικό μέρος του m_A

, αν $m_A \in (\frac{1}{n},1-\frac{1}{10n})$ τότε σίγουρα θα έχουμε $\displaystyle n_A =\left\lfloor m_A \right\rfloor$ . (Αλλιώς δεν ξέρουμε σε ποιες από τις δύο περιπτώσεις θα είμαστε.)

Π.χ. $m_{10} = e^{10-\gamma}+\frac{1}{2} \approx 12367.4811\ldots$ . Επειδή $0.4811\ldots \in (0.1,0.99)$ τότε $n_{10} =\left\lfloor m_{10}\right\rfloor = 12367$

Άθροισμα αντίστροφων φυσικών αριθμών

Άθροισμα αντίστροφων φυσικών αριθμών

Re: Άθροισμα αντίστροφων φυσικών αριθμών

Re: Άθροισμα αντίστροφων φυσικών αριθμών

Re: Άθροισμα αντίστροφων φυσικών αριθμών

Re: Άθροισμα αντίστροφων φυσικών αριθμών

Μέλη σε σύνδεση