Μια τουλάχιστον λύση

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Μια τουλάχιστον λύση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Μάιος 24, 2010 12:42 am

Έστω f, g συνεχείς συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το R .
Αν η f ειναι φραγμένη και η g έχει σύνολο τιμών όλο το R, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=g(x)
έχει τουλάχιστον μια λύση στο R.


Χρήστος Κυριαζής
manos1992
Δημοσιεύσεις: 293
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 07, 2009 6:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν.Σμύρνη

Re: Μια τουλάχιστον λύση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από manos1992 » Δευ Μάιος 24, 2010 1:20 am

με κάθε επιφύλαξη...

Θεωρούμε το κάτω φράγμα της f m και το άνω φραγμα M

Θεωρούμε την h(x)=g(x)-f(x)

η g έxει σύνολο τιμών το R άρα υπάρχει k\in \mathbb R ώστε g(k)>M

και υπάρχει l\in \mathbb R ώστε g(l)<m

και έτσι h(k)=g(k)-f(k)>g(k)-M>0

και h(l)=g(l)-f(l)<g(l)-m<0

Bolzano και τελειώσαμε... :D

EDIT:γράφτηκε λίγο πιο αναλυτικά και διορθώθηκε μια πατάτα..


Μάνος Μανουράς
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης