Συναρτησιακή

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6175
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Συναρτησιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Ιουν 01, 2010 12:20 pm

Έστω f:R\rightarrow R συνεχής συνάρτηση, για την οποία ισχύει

f(f(f(x)))+f(x)=2x, \forall x \in R.
Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.


Μάγκος Θάνος
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Συναρτησιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Ιουν 01, 2010 12:35 pm

Ευκολα βλέπουμε ότι η f είναι 1-1. Ως συνεχής θα είναι γνησίως μονότονη.
Η f δε μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα, διότι τότε και η

x\mapsto f(f(f(x))+f(x)

θα ήταν γνησίως φθίνουσα, άτοπο.

Άρα η f πρέπει να είναι γνησίως αύξουσα.

Αν f(a)<a για κάποιο a\in \mathbb{R}, τότε εύκολα βρίσκουμε ότι

f(f(f(a)))<f(f(a))<f(a)<a,

άτοπο αφού f(f(f(a)))+f(a)=2a.

Ομοίως, αν f(a)>a.

 Συνεπώς,

f(x)=x για κάθε x\in \mathbb{R}.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης