Εύρεση τιμής παράστασης
Συντονιστής: chris_gatos
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Εύρεση τιμής παράστασης
Έστω οι πραγματικοί αριθμοί .
Αν η ανισοισότητα ισχύει για κάθε
τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης
Αν η ανισοισότητα ισχύει για κάθε
τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης
Χρήστος Κυριαζής
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Εύρεση τιμής παράστασης
Δεν υπάρχουν ώστε να ισχύειchris_gatos έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 21, 2024 11:43 pmΈστω οι πραγματικοί αριθμοί .
Αν η ανισοισότητα ισχύει για κάθε
τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης
Απόδειξη
Έστω ότι γίνεται. Θα είναι και
Το τριώνυμο θα πρέπει να έχει δύο ρίζες , οι οποίες επαληθεύουν την .
Αν τώρα το έχει δύο άνισες ρίζες αυτές θα πρέπει να είναι, και οι δύο, μικρότερες ή ίσες από την ή μεγαλύτερες ή ίσες από την
Αν ρίζα του , τότε θα πρέπει , το οποίο είναι είναι αδύνατο.
Άρα θα πρέπει το να έχει .
Με τη βοήθεια της τελευταίας ανισότητας και των τύπων των ριζών βλέπουμε ότι
και το οποίο είναι αδύνατο.
Edit.: Έκανα λάθος μια πρόσθεση....
Διορθώνω: και .
Άρα πρέπει , με την ισότητα να ισχύει όταν .
Οπότε ....
τελευταία επεξεργασία από abgd σε Δευ Ιαν 22, 2024 1:08 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Εύρεση τιμής παράστασης
Νομίζω ότι υπάρχουν και το ζεύγος είναι μοναδικό.
Για παίρνουμε ότι Για παίρνουμε Τέλος, για έχουμε
Με πρόσθεση των δύο πρώτων παίρνουμε ενώ η δεύτερη δίνει
Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να έχουμε παντού ισότητα. Τότε, λύνοντας το σύστημα παίρνουμε , .
Για αυτές τις τιμές παίρνουμε ότι το τριώνυμο μέσα στο απόλυτο γράφεται ως . Στο διάστημα παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή, τις (για και ) και για , αντίστοιχα.
Για παίρνουμε ότι Για παίρνουμε Τέλος, για έχουμε
Με πρόσθεση των δύο πρώτων παίρνουμε ενώ η δεύτερη δίνει
Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να έχουμε παντού ισότητα. Τότε, λύνοντας το σύστημα παίρνουμε , .
Για αυτές τις τιμές παίρνουμε ότι το τριώνυμο μέσα στο απόλυτο γράφεται ως . Στο διάστημα παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή, τις (για και ) και για , αντίστοιχα.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Εύρεση τιμής παράστασης
Ευχαριστώ πολύ για την λύση (πολύ απλούστερη της δικής μου) Σιλουανέ!
Κύριε abgd ευχαριστώ πολύ για την ένστασή σας, θα την μελετήσω.
Κύριε abgd ευχαριστώ πολύ για την ένστασή σας, θα την μελετήσω.
Χρήστος Κυριαζής
Re: Εύρεση τιμής παράστασης
Χρήστο...εντάξει είναι εκτός ανchris_gatos έγραψε: ↑Δευ Ιαν 22, 2024 1:03 pmΕυχαριστώ πολύ για την λύση (πολύ απλούστερη της δικής μου) Σιλουανέ!
Κύριε abgd ευχαριστώ πολύ για την ένστασή σας, θα την μελετήσω.
Το έχω διορθώσει.
Re: Εύρεση τιμής παράστασης
Λίγο διαφορετικά, θεωρώντας γνωστή τη θεωρία των πολυωνύμων Chebychev.
Έχουμε
και άρα
.
Θέτω και παίρνω
.
Όμως, η ελάχιστη άπειρο-νόρμα για μονικό πολυώνυμο 2ου βαθμού στο είναι και πιάνεται για το πολυώνυμο (βάσει της θεωρίας πολυωνύμων Chebychev).
Οπότε .
Έχουμε
και άρα
.
Θέτω και παίρνω
.
Όμως, η ελάχιστη άπειρο-νόρμα για μονικό πολυώνυμο 2ου βαθμού στο είναι και πιάνεται για το πολυώνυμο (βάσει της θεωρίας πολυωνύμων Chebychev).
Οπότε .
Κώστας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες