Συνεχής συνάρτηση

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6826
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Συνεχής συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Ιουν 08, 2010 9:16 pm

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση (με πραγματικές τιμές), ορισμένη στο διάστημα [0,1].Ποιο απο τα παρακάτω αληθεύει;

Ι) Υπάρχει μια σταθερά c>0 τέτοια ώστε \displaystyle{ 
|f(x) - f(y)| \le c,\forall x,y \in \left[ {0,1} \right] 
}

ΙΙ) Υπάρχει μια σταθερά D τέτοια ώστε: \displaystyle{ 
|f(x) - f(y)| \le 1,\forall x,y \in \left[ {0,1} \right],|x - y| \le D 
}

ΙΙΙ) Υπάρχει μια σταθερά Ε>0, τέτοια ώστε: \displaystyle{ 
|f(x) - f(y)| \le E|x - y|,\forall x,y \in \left[ {0,1} \right] 
}

Α) Μόνο το Ι

Β) Μόνο το ΙΙ

Γ) Μόνο το Ι και το ΙΙ

Δ)Μόνο το ΙΙ και το ΙΙΙ

Ε) Το Ι, το ΙΙ και το ΙΙ (δηλαδή όλα!)


Χρήστος Κυριαζής
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Συνεχής συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Ιουν 08, 2010 9:42 pm

Το (III) δεν ισχυει απαραίτητα, αφού γνωστό αντιπαράδειγμα είναι η f(x)=\sqrt{x}.

Το (II) ισχύει για κάθε συνάρτηση εάν D=0.

To (I) ισχύει λόγω συνέχειας σε κλειστό και φραγμένο (π.χ c=2\max \{f(x):x\in [0,1]\}).

Άρα σωστή απάντηση είναι το Γ).

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
nkatsipis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 759
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
Τοποθεσία: Σαντορίνη
Επικοινωνία:

Re: Συνεχής συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nkatsipis » Τρί Ιουν 08, 2010 10:02 pm

Σωστή απάντηση το Γ.

Το Ι είναι σωστό αφού η f συνεχής στο κλειστό θα έχει μέγιστο (ένα c είναι το 2M, όπου Μ η μέγιστη τιμή της f στο [0,1].).

Το ΙΙ είναι σωστό διότι η f ως συνεχής στο κλειστό [0,1] θα είναι και ομοιόμορφα συνεχής.
(Κάθε συνεχής συνάρτηση σε συμπαγές είναι και ομοιόμορφα συνεχής. Το [0,1] συμπαγές, ως κλειστό και φραγμένο, Heine-Borel)
Για \epsilon=1, έχουμε από τον ορισμό της συνέχειας ότι υπάρχει D>0 (το οποίο εξαρτάται από το \epsilon) τέτοιο ώστε για κάθε x,y\in[0,1] με |x-y|<D να αληθεύει |f(x)-f(y)|<1.

To III είναι λάθος (εδώ έχουμε την συνθήκη Lipschitz). Όμως κάθε ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση δεν είναι συνάρτηση Lipschitz (για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=\sqrt{x}, στο [0,1].).

Φιλικά,

Νίκος Κατσίπης

ΥΓ: Με πρόλαβε ο Αχιλλέας... :)


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Συνεχής συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Ιουν 08, 2010 10:14 pm

Ωραία, Νίκο.

Στο (II) επειδή η υπόθεση δεν λέει "μη μηδενική" ή καλύτερα "θετική" σταθερά πήρα αμέσως D=0.

Κάποιος πιο "πονηρά" σκεπτόμενος θα μπoρούσε να πάρει D<0, που πάλι η (II) ισχύει για κάθε συνάρτηση.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
nkatsipis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 759
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
Τοποθεσία: Σαντορίνη
Επικοινωνία:

Re: Συνεχής συνάρτηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nkatsipis » Τετ Ιουν 09, 2010 11:58 am

achilleas έγραψε:Ωραία, Νίκο.

Στο (II) επειδή η υπόθεση δεν λέει "μη μηδενική" ή καλύτερα "θετική" σταθερά πήρα αμέσως D=0.

Κάποιος πιο "πονηρά" σκεπτόμενος θα μπoρούσε να πάρει D<0, που πάλι η (II) ισχύει για κάθε συνάρτηση.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Πολύ όμορφα Αχιλλέα!

Νίκος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες