mathematica.gr

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση (με πραγματικές τιμές), ορισμένη στο διάστημα [0,1].Ποιο απο τα παρακάτω αληθεύει;

Ι) Υπάρχει μια σταθερά c>0 τέτοια ώστε

ΙΙ) Υπάρχει μια σταθερά D τέτοια ώστε:

ΙΙΙ) Υπάρχει μια σταθερά Ε>0, τέτοια ώστε:

Α) Μόνο το Ι

Β) Μόνο το ΙΙ

Γ) Μόνο το Ι και το ΙΙ

Δ)Μόνο το ΙΙ και το ΙΙΙ

Ε) Το Ι, το ΙΙ και το ΙΙ (δηλαδή όλα!)

Το (III) δεν ισχυει απαραίτητα, αφού γνωστό αντιπαράδειγμα είναι η .

Το (II) ισχύει για κάθε συνάρτηση εάν .

To (I) ισχύει λόγω συνέχειας σε κλειστό και φραγμένο (π.χ ).

Άρα σωστή απάντηση είναι το Γ).

Φιλικά,

Αχιλλέας

Σωστή απάντηση το Γ.

Το Ι είναι σωστό αφού η συνεχής στο κλειστό θα έχει μέγιστο (ένα είναι το , όπου Μ η μέγιστη τιμή της στο .).

Το ΙΙ είναι σωστό διότι η ως συνεχής στο κλειστό θα είναι και ομοιόμορφα συνεχής.
(Κάθε συνεχής συνάρτηση σε συμπαγές είναι και ομοιόμορφα συνεχής. Το συμπαγές, ως κλειστό και φραγμένο, Heine-Borel)
Για , έχουμε από τον ορισμό της συνέχειας ότι υπάρχει (το οποίο εξαρτάται από το ) τέτοιο ώστε για κάθε με να αληθεύει

To III είναι λάθος (εδώ έχουμε την συνθήκη Lipschitz). Όμως κάθε ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση δεν είναι συνάρτηση Lipschitz (για παράδειγμα η συνάρτηση στο ).

Φιλικά,

Νίκος Κατσίπης

ΥΓ: Με πρόλαβε ο Αχιλλέας...

Ωραία, Νίκο.

Στο (II) επειδή η υπόθεση δεν λέει "μη μηδενική" ή καλύτερα "θετική" σταθερά πήρα αμέσως .

Κάποιος πιο "πονηρά" σκεπτόμενος θα μπoρούσε να πάρει , που πάλι η (II) ισχύει για κάθε συνάρτηση.

Φιλικά,

Αχιλλέας

achilleas έγραψε:Ωραία, Νίκο.

Στο (II) επειδή η υπόθεση δεν λέει "μη μηδενική" ή καλύτερα "θετική" σταθερά πήρα αμέσως .

Κάποιος πιο "πονηρά" σκεπτόμενος θα μπoρούσε να πάρει , που πάλι η (II) ισχύει για κάθε συνάρτηση.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Πολύ όμορφα Αχιλλέα!

Νίκος