Εξισωση

Συντονιστής: chris_gatos

antegeia
Δημοσιεύσεις: 126
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 31, 2009 3:10 pm

Εξισωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από antegeia » Τρί Ιούλ 13, 2010 10:46 pm

Να βρεθουν ολες οι λυσεις (x,y,z) της εξισωσης

x^2-2xsin(\pi x)-cos2x+2cos^2x+\sqrt{-4xz-z^2+3}=(1+2xz)log^2_{2}\frac{2y}{z}


Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: Εξισωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Κυρ Ιούλ 18, 2010 5:12 pm

antegeia έγραψε:Να βρεθουν ολες οι λυσεις (x,y,z) της εξισωσης

x^2-2xsin(\pi x)-cos2x+2cos^2x+\sqrt{-4xz-z^2+3}=(1+2xz)log^2_{2}\frac{2y}{z}
Μία διόρθωση στην εκφώνηση

Να βρεθουν ολες οι λυσεις (x,y,z) της εξισωσης

x^2-2xsin(\pi y)-cos2x+2cos^2x+\sqrt{-4xz-z^2+3}=(1+2xz)log^2_{2}\frac{2y}{z}

Περιοδικό φ , τεύχος 6 σελ. 286 .


Χρήστος Καρδάσης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6875
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Εξισωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Ιούλ 18, 2010 5:20 pm

Κι άλλη διόρθωση;

:clap: :clap: :clap:


Χρήστος Κυριαζής
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2724
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Εξισωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Ιούλ 18, 2010 6:22 pm

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:
antegeia έγραψε:Να βρεθουν ολες οι λυσεις (x,y,z) της εξισωσης

x^2-2xsin(\pi x)-cos2x+2cos^2x+\sqrt{-4xz-z^2+3}=(1+2xz)log^2_{2}\frac{2y}{z}
Μία διόρθωση στην εκφώνηση

Να βρεθουν ολες οι λυσεις (x,y,z) της εξισωσης

x^2-2xsin(\pi y)-cos2x+2cos^2x+\sqrt{-4xz-z^2+3}=(1+2xz)log^2_{2}\frac{2y}{z}

Περιοδικό φ , τεύχος 6 σελ. 286 .
Δυστυχώς για μας, και η μετάφραση στο φ έχει τυπογραφικό λάθος. Στο τεύχος 1 του Kvant 2007, σελ. 47 βλέπουμε τη σωστή άσκηση. Παραλάτω δίνει και τις δυνατές λύσεις με μια υπόδειξη στα ρώσικα που αδυνατώ να καταλάβω.

Αλλά ας διατυπώσουμε σωστά την άσκηση κι ας τη λύσουμε:

Να βρεθουν ολες οι λυσεις (x,y,z) της εξισωσης

\displaystyle{x^2-2x\sin(\pi y)-\cos2x+2\cos^2x+\sqrt{-4xz-z^2-3}=(1+2xz)\log^2_{2}\frac{2y}{z}}

Λύση: Εφόσον η υπόρριζη ποσότητα είναι μη αρνητική έχουμε

\displaystyle{2xz+1\leq -\frac{z^2+1}{2}<0}.

Συνεπώς το δεξί μέλος της εξίσωσης είναι μη θετικό.

Το αριστερό μέλος της εξίσωσης γράφεται

\displaystyle{(x-\sin (\pi y))^2+\cos^2 (\pi y) +\sqrt{-4xz-z^2-3}}

κι άρα είναι μη αρνητικό.

Συνεπώς, πρέπει να είναι \displaystyle{log^2_{2}\frac{2y}{z}}=0} (1), x=\sin (\pi y) (2) , \cos (\pi y)=0 (3) και (z+2x)^2=4x^2-3 (4).

Από (1) παίρνουμε 2y=z, ενώ από (2) και (3) έχουμε x^2=1, κι άρα από (4) κι αφού xz<0, παίρνουμε z=-3 όταν x=1 και z=3 όταν x=-1.

Άρα οι λύσεις είναι (1, -3/2, -3) και (-1,3/2,3).

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6875
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Εξισωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Ιούλ 18, 2010 6:26 pm

Είδωμεν το φως το αληθινόν...

Δόξα τω θεώ!!


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: Εξισωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Κυρ Ιούλ 18, 2010 8:20 pm

Να ζητήσω συγγνώμη διότι το περιοδικό φ το έχει σωστά .
Ο antegeia είχε 2 λάθη στην αντιγραφή και εγώ εντόπισα μόνο το πρώτο και δεν πρόσεξα το - 3 στο ριζικό .
Ευτυχώς ο Αχιλλέας το ξεκαθάρισε :coolspeak: και την καθάρισε ... :clap2:


Χρήστος Καρδάσης
antegeia
Δημοσιεύσεις: 126
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 31, 2009 3:10 pm

Re: Εξισωση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από antegeia » Δευ Ιούλ 19, 2010 12:13 am

Οπως βλεπετε ολοι κανουμε λαθη ειτε αυτο λεγεται αντιγραφη ειτε διορθωση ειτε ξερω γω τι...Εξαρταται απο την μερα ωρα κτλ της δημοσιευσης......Οπως και να χει σας ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΟΛΟΥΣ για τις υποδειξεις/διορθωσεις/λυσεις......


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης