Ελάχιστο συνάρτησης

#1

Να βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης:

$\displaystyle{ f(x) = \frac{{(x + \frac{1}{x})^6 - (x^6 + \frac{1}{{x^6 }}) - 2}}{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3 + \left( {x^3 + \frac{1}{{x^3 }}} \right)}},x > 0 }$

(Υπάρχει ο εύκολος κι ο δύσκολος τρόπος. Επιλέξτε!)

kwstas12345 · #2

Είναι:

$\displaystyle \frac{\left(x+\frac{1}{x} \right)^{6}-\left(x^{6}+\frac{1}{x^{6}} +2\right)}{\left(x+\frac{1}{x} \right)^{3}+x^{3}+\frac{1}{x^{3}}}=\frac{\left(x+\frac{1}{x} \right)^{6}-\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \right)^{2}}{\left( x+\frac{1}{x}\right)^{3}+\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \right)}=\frac{\left( \left( x+\frac{1}{x}\right)^{3}+\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \right)\right)\left(\left( x+\frac{1}{x}\right)^{3}-\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \right) \right)}{\left( x+\frac{1}{x}\right)^{3}+\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \right)}=\left( x+\frac{1}{x}\right)^{3}-\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \right)=3x\frac{1}{x}\left(x+\frac{1}{x} \right)\geq 6$

και λαμβάνεται για χ=1.

Φιλικά,
Κώστας

#3

chris_gatos έγραψε:Να βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης:

$\displaystyle{ f(x) = \frac{{(x + \frac{1}{x})^6 - (x^6 + \frac{1}{{x^6 }}) - 2}}{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3 + \left( {x^3 + \frac{1}{{x^3 }}} \right)}},x > 0 }$

(Υπάρχει ο εύκολος κι ο δύσκολος τρόπος. Επιλέξτε!)

Έστω $a=x+\frac{1}{x}\geq 2$ .

Τότε $x^3+\frac{1}{x^3}=a^3-3a$ και $x^6+\frac{1}{x^6}=a^6-6a^4+9a^2-2$

(αποδεικνύεται εύκολα με χρήση των πολυώνυμων Chebychev που συζητήθηκαν στο θέμα viewtopic.php?f=50&t=9101&p=50989&hilit ... hev#p50989)

Άρα

$f(x)=\dfrac{a^6-(a^6-6a^4+9a^2-2)-2}{a^3+(a^3-3a)}=\dfrac{6a^4-9a^2}{2a^3-3a}=3a$ .

Συνεπώς, $f(x)\geq 6$ με το "=" αν και μόνο αν x=1

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ελάχιστο συνάρτησης

Ελάχιστο συνάρτησης

Re: Ελάχιστο συνάρτησης

Re: Ελάχιστο συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση