Ελάχιστο συνάρτησης

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Ελάχιστο συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Σεπ 26, 2010 7:26 pm

Να βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης:

\displaystyle{ 
f(x) = \frac{{(x + \frac{1}{x})^6  - (x^6  + \frac{1}{{x^6 }}) - 2}}{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3  + \left( {x^3  + \frac{1}{{x^3 }}} \right)}},x > 0 
}

(Υπάρχει ο εύκολος κι ο δύσκολος τρόπος. Επιλέξτε!)


Χρήστος Κυριαζής
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Ελάχιστο συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Κυρ Σεπ 26, 2010 7:41 pm

Είναι:

\displaystyle \frac{\left(x+\frac{1}{x} \right)^{6}-\left(x^{6}+\frac{1}{x^{6}} +2\right)}{\left(x+\frac{1}{x} \right)^{3}+x^{3}+\frac{1}{x^{3}}}=\frac{\left(x+\frac{1}{x} \right)^{6}-\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \right)^{2}}{\left( x+\frac{1}{x}\right)^{3}+\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \right)}=\frac{\left( \left( x+\frac{1}{x}\right)^{3}+\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \right)\right)\left(\left( x+\frac{1}{x}\right)^{3}-\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \right) \right)}{\left( x+\frac{1}{x}\right)^{3}+\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \right)}=\left( x+\frac{1}{x}\right)^{3}-\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \right)=3x\frac{1}{x}\left(x+\frac{1}{x} \right)\geq 6

και λαμβάνεται για χ=1.

Φιλικά,
Κώστας


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2653
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ελάχιστο συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Σεπ 26, 2010 7:44 pm

chris_gatos έγραψε:Να βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης:

\displaystyle{ 
f(x) = \frac{{(x + \frac{1}{x})^6  - (x^6  + \frac{1}{{x^6 }}) - 2}}{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3  + \left( {x^3  + \frac{1}{{x^3 }}} \right)}},x > 0 
}

(Υπάρχει ο εύκολος κι ο δύσκολος τρόπος. Επιλέξτε!)
Έστω a=x+\frac{1}{x}\geq 2.

Τότε x^3+\frac{1}{x^3}=a^3-3a και x^6+\frac{1}{x^6}=a^6-6a^4+9a^2-2

(αποδεικνύεται εύκολα με χρήση των πολυώνυμων Chebychev που συζητήθηκαν στο θέμα viewtopic.php?f=50&t=9101&p=50989&hilit ... hev#p50989)

Άρα

f(x)=\dfrac{a^6-(a^6-6a^4+9a^2-2)-2}{a^3+(a^3-3a)}=\dfrac{6a^4-9a^2}{2a^3-3a}=3a.

Συνεπώς, f(x)\geq 6 με το "=" αν και μόνο αν x=1.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες