ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

[S.E.Louridas]

...Αν δεν υπήρχαν οι ασκήσεις με τις περισσότερες από μια σωστές απαντήσεις δεν θα είχε αναπτυχθεί ο κλάδος των στοχαστικών μαθηματικών και κανείς δεν θα αναζητούσε τις βέλτιστες απαντήσεις.. Ευτυχώς όμως κάποιοι εκεί έξω τις αναζητούν και ίσως τα καταφέρουν να τις βρουν και να βγούμε από το αδιέξοδο στο οποίο έχουμε από κάθε άποψη, ως κοινωνία, περιέλθει...

Ευχές για ελπίδα και αντοχές.

Ας μου επιτραπεί να έχω την άποψη μου ότι δεν είναι και πολλές, θα έλεγα ότι είναι ελάχιστες, οι ασκήσεις που λύνονται με ένα μόνο τρόπο, με μία μέθοδο, αν εξαιρέσει κανείς τις ασκήσεις του τύπου σωστό ή λάθος όπου και εκεί μόνο ο χαρακτηρισμός σαν απάντηση είναι μοναδικός.
Οι απαντήσεις (και όχι οι τρόποι επίλυσης) Φαινομενικά μόνο είναι πολλές. Όλες ουσιαστικά ξεκινούν από μία βασική την οποία πρέπει να συνηθίζουμε να ανιχνεύουμε, να επιδιώκουμε και να τεκμηριώνουμε. Από εκεί και πέρα είναι θέμα θεωρητικής βάσης που πρέπει να έχουμε και έτσι να δρούμε πλέον με βάση διαδικαστικά Μαθηματικά βήματα.
Για παράδειγμα στην περίπτωση που μία άσκηση καταλήγει στο γεγονός ότι μία μεταβλητή που ανήκει σε ένα σύνολο θα ανήκει και σε κάθε υπερσύνολο του, η λύση είναι επί της ουσίας μία, αυτή στην οποία καταλήγουμε και τεκμηριώνουμε αυστηρά και με βάση τη διερευνητική διαδικασία (θυμίζουμε: για κάθε υπερσύνολο του συνόλου οπότε ο βασικός στόχος θα πρέπει να είναι το τα άλλα από απλή γνώση της θεωρίας έπονται), ΑΡΚΕΙ βέβαια να έχει διδαχθεί το θεωρητικό αυτό γίγνεσθαι (υποχρεωτικό να διδαχθεί όταν πάμε να εισαγάγουμε λύσεις - διαστήματα), όχι κατ΄ ανάγκη με βάση την συνολοθεωρητική ορολογία του πράγματος. Από εκεί και μετά η διαδικασία είναι διαδικαστική. Αν από την αρχή δεν επιδειωχθεί η βασική αυστηρά θεμελιωμένη λύση και γίνει κάποιο λάθος από την έλλειψη αυτή ουσίας και αυστηρότητας (που πρέπει να επιδιώκονται με τον απλόυστερο και αντίστοιχα προσαρμοσμένο τρόπο) τότε πιθανόν να έχουμε και απώλεια απείρων περιπτώσεων. Δηλαδή αν καταλήγαμε από κάποια "" λάθη από υπερβάσεις"" στο ότι το σύνολο λύσεων της επίμαχης πανέμορφης άσκησης είναι το (-123, 789), τότε ΠΙΘΑΝΟΝ να χάναμε όλα τα υποσύνολα του λύσεις (άπειρα), ενώ ταυτόχρονα θα είχαμε και τα άπειρα δεκτά υπερσύνολα του-λύσεις.
Αυτό πάντως επαναλαμβάνω, κατά την άποψη μου θα πρέπει να προηγηθεί Διδακτικά, δηλαδή η θεωρητική αναφορά και επεξήγηση και συζήτηση στο ότι για κάθε υπερσύνολο του συνόλου με τρόπο απλοποιημένο κατανοητό και με παραδείγματα, πρίν την ευρύτερη ανασχοληση μας με ασκήσεις όπως με την άσκηση αφετηρία του διαλόγου, με την δεδομένη προσωπικότητα (τι να κάνουμε, οι Έλληνες Μαθηματικοί την έχουν, απλά εμποδίζονται κάποιες φορές να την "καταθέτουν") και επομένως προσωπική παρέμβαση του διδάσκοντα , όπως έχει αναφερθεί σε άλλες τοποθετήσεις μου και όχι βέβαια κάτω από τα σύμβολα που χρησιμοποίησα εδώ αποκλειστικά για εμάς τους διδάσκοντας.
Θα αισθανόμασταν πιστεύω διδακτικά επί των Μαθηματικών πιό πλήρεις αν αναδεικνύονταν και οι απόψεις του τύπου:...εφαρμόζοντας την διδακτική μέθοδο που επέλεξα ή κάνοντας τα τάδε διδακτικά πειράματα, διαπύστωσα τα εξής Θετικά σημεία , αλλά και τα εξής Αρνητικά σημεία..., συγκεκριμένα και με αντίστοιχη έμφαση όπως εκείνη γιά τα θετικά σημεία. Είναι πιστεύω αρκετά κατανοητό το γιατί αυτό είναι Επιστημονικά επιβαλλόμενο.
Επιτρέψτε μου να επαναλάβω ότι:

...Προσωπικά, επιτρέψτε μου να επαναλάβω πως πιστεύω ότι κάθε καινούργιο πρόβλημα για ένα λύτη που κάθεται απέναντι του είναι για αυτόν ένα open problem.
Απλά κλείνοντας τη παρέμβαση μου αυτή , θα ήθελα να αναφέρω ότι από την διεθνή εμπειρία μου, έχω την αίσθηση ότι οι χαρακτηρισμοί Open problem και
research problem είναι επί της ουσίας γιά το ίδιο είδος προβλήματος...

Ο ίδιος ο Hilbert είχε συγκεντρώσει διάσημα open problems. Επίσης τόσο το Μεγάλο θεώρημα του Fermat όσο και η εικασία του Catalan, πρίν αποδειχθούν και πλέον είναι Θεωρήματα, είχαν τον τίτλο των open problems, αν δεν κάνω λάθος.

Και από εμένα ευχές για την 25η Μαρτίου και με την ελπίδα να κατανοήσουν οι λαοί την επικαιρότητα των μηνυμάτων του 1821 στις μέρες μας.

Πάντα με στόχο τη δημιουργία διαλόγου,

[Γιώργος Ρίζος]

Δίνω στο συνημμένο (λόγω του μεγέθους του) αρχείο μερικές ιδέες και γνώμες στο ενδιαφέρον θέμα σχετικά με τη διδασκαλία των ιδιοτήτων της διάταξης στη Γ΄ Γυμνασίου.

Ευπρόσδεκτες οι γνώμες, παρατηρήσεις, προτάσεις και οι κριτικές και διαφωνίες σας.

Όποιος επιθυμεί το αρχείο και σε απλό κείμενο Word, ας στείλει π.μ.

[S.E.Louridas]

Μια που ο διάλογος αυτός, με τις όποιες « κοντρίτσες » (πιστεύω αναγκαίες για να μην είναι ψυχρός άρα…) έχει ανάψει προσφέροντας έτσι ή αλλιώς,
θα ήθελα να βάλω ένα ερώτημα:
Ποιο μπορεί να είναι το κριτήριο (ή τα κριτήρια) που «διακρίνει», από δύο τουλάχιστον οντότητες που έχουν διδαχθεί κάτω από τις ίδιες συνθήκες (π.χ. Μαθητές ίδιας τάξης, ίδιου καθηγητή ) Μαθηματικά, ποιος είναι πλησιέστερα στην Μαθηματική Λογική;
Για παράδειγμα είναι εκείνος που επιλύει ευχερέστερα και πλέον εντυπωσιακά τα Μαθηματικά Προβλήματα;
Δηλαδή ό παραγωγικός Λύτης μετά το κλείσιμο κάποιας ύλης τι ρόλο παίζει;
Τελικά ποια θα πρέπει να είναι τα κριτήρια «Ελέγχου» (τα εισαγωγικά για να μην θεωρηθεί έλεγχος κόστους π.χ. βαθμολογικός, αλλά γενικότερος) ως προς το να αποφανθεί κανείς;
Η άποψη μου είναι, ότι η Μαθηματική Λογική δεν μπορεί να είναι Αντίπαλος της Φιλοσοφικής Λογικής, αφού τότε θα υπήρχε εσωτερική νοητική σύγκρουση που θα οδηγoύσε στο Αδύνατο της Παραγωγικής Επιστημονικής σκέψης.

Ας δούμε και ένα διδακτικό πείραμα:

Αν σε ένα Μαθητή μετά τη διδασκαλία των αρνητικών αριθμών, αλλά και των δυνάμεων και μάλιστα σε κλίμα ευχάριστο του ζητούσαμε να μας πει, αν οι παρακάτω διαδικασίες του φαίνονται λογικές και μέχρι εκεί μετά από ένα σύντομο διάλογο, δεν θα τον πλησιάσουμε έστω και προς στιγμή στη αποδοχή της συμπεριφοράς της συνεπαγωγής στη περίπτωση που η υπόθεση είναι μία πρόταση με τιμή αλήθειας "Ψευδής";



Το πείραμα:



(*) Προσωπικά θεωρώ πως οι απαντήσεις (που σίγουρα έχουν σαν πρόθεση την κυκλική επένδυση μας με επιπλέον γνώσεις) δεν πρέπει να είναι επί επιλεκτικών παραγράφων πάνω σε μία παρέμβαση συναδέλφου αλλά επί του συνόλου της, για να μην πέσουμε σε ατόπημα του τύπου να αποδεχθούμε, κρίνουμε ή καταδικάσουμε το Ευαγγέλιο τον Μάρξ ή τον Φροϋντ από σκόρπιες φράσεις που περιέχονται στο τεράστιο με λογική συνέχεια αντίστοιχο έργο. Ας μην πιανόμαστε δηλαδή από μία ή δύο κουβέντες από την αντίστοιχη παρέμβαση αφού υπάρχει ο κίνδυνος να βγεί λανθασμένο συμπέρασμα.

[kalfokat]

Ευπρόσδεκτες οι γνώμες, παρατηρήσεις, προτάσεις και οι κριτικές και διαφωνίες σας.

Καλησπέρα!

Βρίσκω πολύ ενδιαφέρουσα την προσέγγιση των ιδιοτήτων της διάταξης μέσω των προβλημάτων και όχι μόνο για τη Γ' Γυμνασίου αλλά και για την Α΄Λυκείου!
Οι μέσοι όροι, τα κιβώτια με τα φρούτα κι άλλα τέτοια προβλήματα από την ευρύτερη καθημερινή τους ζωή δίνουν στους μαθητές εικόνες που τους βοηθούν να νοηματοδοτήσουν τα σύμβολα.. Μια τέτοια προσέγγιση βοηθάει πολύ ακόμη και τους αδύναμους μαθητές στην κατανόηση της διαφοράς μεταξύ διακριτού και συνεχούς, που δεν είναι κι από τα ευκολότερα θέματα.

Καλό σαββατοκύριακο.

[nsmavrogiannis]

Πριν αρκετό καιρό στο παρόν θέμα και στο μήνυμα:
viewtopic.php?f=28&p=122345#p122345
είχα γράψει:

Θα επανέλθω γιατί θέλω να θίξω ένα ζήτημα θεολογικής υφής: Του ενός και μοναδικού ορισμού.

Επανέρχομαι καθυστερημένα γιατί πάντα όλο και κάτι άλλο έμπαινε μπροστά. Συζητώντας με πολλούς δασκάλους των Μαθηματικών αλλά και διαβάζοντας εδώ στο mathematica διάφορες γνώμες έχω διαπιστώσει ότι μία εξαιρετικά ανθεκτική άποψη είναι η άποψη που εν συντομία λέει "ο ορισμός είναι ορισμός". Αυτό σημαίνει πολλά πράγματα:
α) Πως όταν ζητείται "τι ονομάζεται", "τι ονομάζουμε", "τι λέγεται", "πως ορίζουμε" κτλ αυτό είναι ένα πρόσταγμα για να παρατεθεί ο ορισμός του σχολικού βιβλίου.
β) Ο ορισμός δε μπορεί να αντικατασταθεί με άλλη λογικά ισοδύναμη συνθήκη ή να διατυπωθεί από τον μαθητή όπως τον καταλαβαίνει παρεκτός αν "τα δικά του λόγια" είναι περίπου αυτά που παρατίθενται στο βιβλίο. Η απαίτηση να μην αντικαθίσταται ο ορισμός από άλλη ισοδύναμη συνθήκη εμφανίζεται συχνά ανελαστική ακόμη και αν στο βιβλίο δεν φαίνεται καν πρόθεση να δομηθεί μία θεωρία κατά το πρότυπο ορισμός-θεώρημα-θεώρημα ισοδύναμης συνθήκης. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η εμμονή της περυσινής επιτροπής των εξετάσεων να είναι απαιτητός ως ορισμός ασυμπτώτου ακριβώς η συνθήκη που αναφέρεται στο βιβλίο κατεύθυνσης ως ορισμός και όχι η ισοδύναμη συνθήκη που υπάρχει ακριβώς παρακάτω. Παρεμπιπτόντως σημειώνω ότι πέρυσι η κάποια μέλη μας θεώρησαν ότι τα πεπραγμένα της επιτροπής κατεύθυνσης ήσαν θετικά (μάλιστα υπήρξαν και εκ΄προοιμίου προβλέψεις ότι θα είναι τέτοια).

Το θέμα έχει συζητηθεί περιστασιακά και αλλού και μου έχει δοθεί η ευκαιρία να αναφέρω την γνώμη μου ( viewtopic.php?f=52&p=71680#p71680 ). Θα ήθελα όμως να επικεντρώσουμε την συζήτηση σε ένα θέμα που έγινε και προηγουμένως αναφορά: στην απόλυτη τιμή και τον ορισμό της.
Ως έναρξη γράφω μερικούς ορισμούς της απόλυτης τιμής από παλιά και νέα βιβλία. Δεν πρόκειται για συστηματική καταγραφή. Απλώς διάλεξα βιβλία που συμβαίνει να έχω στα χέρια μου:

1) Απόλυτος τιμή ενός σχετικού αριθμού λέγεται ο αριθμός ούτος λαμβανόμενος χωρίς πρόσημον.
Γεώργιος Χρ. Παπανικολάου Μαθήματα Άλγεβρας 1945

2) Καλούμεν απόλυτον αριθμό ή απόλυτον τιμήν ή και μέτρον ενός θετικού μεν αριθμού ή του αυτόν τον αριθμόν, ενός δε αρνητικού τον αντίθετον του (θετικόν).
Νείλος Σακελλαρίου Άλγεβρα, 1958

3) Αν είναι ένας πραγματικός αριθμός, η απόλυτη τιμή του συμβολίζεται με και ορίζεται (... ) από τις ισότητες:

Δ. Παπαμιχαήλ κ.α Μαθηματικά Γ΄Γυμνασίου, 1977

4) Αν είναι ένας πραγματικός αριθμός η απόλυτη τιμή του συμβολίζεται με και ορίζεται ως εξής:

N. Βαρουχάκης κ.α. Μαθηματικά Α' Λυκείου, Άλγεβρα, 1978

5) Θεωρούμε ένα αριθμό που παριστάνεται με το σημείο πάνω σε έναν άξονα. Όπως ξέρουμε από το Γυμνάσιο, την απόσταση του σημείου από την αρχή δηλαδή το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος , την ονομάζουμε απόλυτη τιμή του αριθμού και την συμβολίζουμε με . Από τον παραπάνω ορισμό και από τον τρόπο που κατασκευάστηκε ο άξονας προκύπτει (...). Επομένως

Σ. Ανδρεαδάκης κ.α. 'Αλγεβρα Α' Λυκείου, 1991

6) Έκαστος σχετικός αριθμός συνίσταται ως βλέπομεν από δύο ούτως ειπείν συστατικά: από ένα πρόσημον και από ένα αριθμόν της Αριθμητικής όστις ακολουθεί το πρόσημον. Καλείται δε απόλυτος τιμή σχετικού αριθμού ο αριθμός της Αριθμητικής ο προκύπτων όταν παραλειφθεί το πρόσημαο του σχετικού αριθμού.
(...)
Ούτω προκύπτει ο 2ος ορισμός της απολύτου τιμής:
H απόλυτος τιμή πραγματικού αριθμού είναι αυτό ούτος ο όταν είναι θετικός ή ο αντίθετος του , όταν ο είναι αρνητικός, ή το μηδέν όταν .
Σπύρος Κανέλλος, Άλγεβρα δια τα Λύκεια, τ.1 σελίδες 95 και 133

7) Απόλυτη τιμή ενός αριθμού , η οποία γράφεται είναι ο .
John Kelley, Introduction to Modern Algebra, Van Nostrand, 1960

8) (...) 'Ετσι .
Υπάρχει ένας ειδικός συμβολισμός για αυτό. Ονομάζουμε το απόλυτη τιμή του και το συμβολίζουμε με

Serge Lang, Basic Mathematics, Springer 1988 (1971)

9) Απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι η απόσταση μεταξύ του αριθμού και του μηδενός πάνω στον άξονα. Γράφουμε για να συμβολίσουμε την απόλυτη τιμή του .
Randal I. Charles κ.α. Focus on Algebra, Addisson-Wesley, 1998

10) Η απόλυτη τιμή ενός ακεραίου ορίζεται να είναι ο ίδιος ο αριθμός αγνοώντας το πρόσημο του.
Joseph Newmark, Frances Lake, Mathematics as Second Language, Addisson-Wesley, 1982

Θα ήθελα να θέσω τα εξής ερωτήματα:
α) Ποιόν από τους παραπάνω ορισμούς (η ποιόν άλλο) θα διαλέγατε αν δεν υπήρχε σχολικό βιβλίο και γράφατε εσείς ένα βιβλίο 'Αλγεβρας;
β) Αν σε ένα πρόχειρο διαγώνισμα ζητούσατε τον ορισμό της απόλυτης τιμής και ο μαθητής έγραφε κάποιον από τους παραπάνω ορισμούς τι βαθμό θα του βάζατε;
Μαυρογιάννης

[S.E.Louridas]

Ο προβληματισμός του Νίκου Μαυρογιάννη είναι ο Άριστος. Προφανώς για τους ορισμούς που δίνει το «διδάσκον» βιβλίο (και λόγω της σκοπιμότητας των εξετάσεων και άρα του βαθμολογικού κόστους) ισχύει το δόγμα: «βασιλική η διαταγή και τα σκυλιά δεμένα». Προφανές επίσης είναι να μην βάζουμε τα παιδιά μπροστά για να πιέζουμε έτσι τους πάνω για αλλαγές κατά το δοκούν. Σίγουρα θα πρέπει να τα εξετάζουμε τα παιδιά στα Διαγωνίσματα σε απόλυτα καθαρά και προσβάσιμα από αυτά τα παιδιά θέματα που να είναι συμβατά με ξεκαθαρισμένους τομείς του βιβλίου τους και της διδασκαλίας στην τάξη.
Όμως θα ήθελα να βάλω με την σειρά μου δύο ερωτήματα:
1) Τι θα πρέπει να κάνει η διδάσκουσα Μαθηματική κοινότητα στην περίπτωση που κατά την πορεία της διδασκαλίας διαπιστώνει αντικρουόμενους
ορισμούς (αν υφίστανται) στην ίδια έννοια που η ίδια (η διδάσκουσα Μαθηματική κοινότητα) είναι αναγκασμένη να έχει διδάξει αλλά και να διδάσκει; Δεν έχει την ιερή υποχρέωση για κάποια φωνή (η διδάσκουσα Μαθηματική κοινότητα);
2) Με ποιο τρόπο θα πρέπει να συγγράφονται τα βιβλία των Μαθηματικών;
Α) Λαμβάνοντες υπ’ όψη τις τομές που πρέπει να έχουν με τα αντίστοιχα των προηγούμενων τάξεων κατερχόμενοι μέχρι την πρώτη του Δημοτικού με στόχο την ομαλή πορεία προς τις επόμενες τάξεις και αφού έχει προηγηθεί ένα οδοιπορικό προς τους Μάχιμους διδάσκοντες δημιουργώντας την πλέον κατάλληλη πλατφόρμα για Επιστημονική επένδυση;
Β) Αντιγράφοντας τα βασικά σημεία από «επιτυχημένα» αντίστοιχα βιβλία του εξωτερικού με διαφορετικό όμως συνολικό κτίσιμο της Μαθηματικής παιδείας εκεί;

(*) Τα θέματα που θα επέλεγα για διαγωνίσματα που θα έδινα στα παιδιά θα ήταν τέτοια που να ήταν συμβατά με το επίπεδο της μέχρι τώρα Μαθηματικής θεωρητικής γνώσης τους αλλά και και του επιπέδου της δυνατής αφομοίωσης, από εύκολα θέματα έως δύσκολα θέματα με ερωτήματα στα δύσκολα για ανίχνευση ταλέντων. Που όμως η δυσκολία να ήταν προς το επίπεδο της σκέψης περισσότερο και λιγότερο της μνήμης, που έτσι ή αλλιώς τσεκάρεται.

(**) Προσωπική μου πάντως άποψη που την καταθέτω εδώ στο mathematica είναι ότι το γνωστό δόγμα του Σοκ (shock dogma) εφαρμοζόμενο και στην εκπαίδευση (αν και εφόσον εφαρμόζεται) είναι που δίνει τα κάκιστα των αποτελεσμάτων.

[Aladdin]

Σήμερα στο εργαστήρι της Α΄ Λυκείου που γίνεται στην Ευαγγελική σχολή, ο σχολικός σύμβουλος κύριος Σαλίχος Μιχάλης πρότεινε έναν τρόπο διδασκαλίας πάνω στην απόλυτη τιμή. Στηρίχθηκε στην προσπάθεια να καταλάβει ο κάθε μαθητής (στον βαθμό που του αναλογεί) τι είναι απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού « διαισθητικά ». Έφτασε στα άκρα τους μαθητές , με ερωτήσεις , παραδείγματα , διάλογο - αποφεύγοντας να δώσει τον ορισμό.
Ο ορισμός δόθηκε προς το τέλος ως μια γενίκευση όσων συζητήθηκαν μέσα στην τάξη.

Μετά την πειραματική διδασκαλία ακολούθησε συζήτηση από τους καθηγητές που παρατήρησαν το μάθημα, για τη χρησιμότητα και σε ποιο βαθμό των ορισμών στα μαθηματικά (προφανώς και στα άλλα μαθήματα).

Ο κύριος Μαυρογιάννης με το πρώτο του ερώτημα καταλαβαίνω πως θέλει να σπάσει την τυφλή, άνευ παραθύρου όραση, που δίνει απλά και μόνο ένας ορισμός.
Οι έννοιες που είναι εγκλωβισμένες στα σίδερα του ορισμού χρειάζεται πολυόραση
για να γίνουν κατανοητές στα παιδιά.

Έτσι προτείνω σε ένα νέο βιβλίο Άλγεβρας τον εξής ορισμό της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού :

Απόλυτη τιμή είναι η προσωρινή ενοίκηση συμβολιζόμενου μεγέθους «στιγμιαίας απόδοσης» εντός ανόριου χώρου.

Χρονόπουλος Πέτρος

[Α.Κυριακόπουλος]

Σήμερα στο εργαστήρι της Α΄ Λυκείου που γίνεται στην Ευαγγελική σχολή, ο σχολικός σύμβουλος κύριος Σαλίχος Μιχάλης πρότεινε έναν τρόπο διδασκαλίας πάνω στην απόλυτη τιμή. Στηρίχθηκε στην προσπάθεια να καταλάβει ο κάθε μαθητής (στον βαθμό που του αναλογεί) τι είναι απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού « διαισθητικά ». Έφτασε στα άκρα τους μαθητές , με ερωτήσεις , παραδείγματα , διάλογο - αποφεύγοντας να δώσει τον ορισμό.
Ο ορισμός δόθηκε προς το τέλος ως μια γενίκευση όσων συζητήθηκαν μέσα στην τάξη.

Μετά την πειραματική διδασκαλία ακολούθησε συζήτηση από τους καθηγητές που παρατήρησαν το μάθημα, για τη χρησιμότητα και σε ποιο βαθμό των ορισμών στα μαθηματικά (προφανώς και στα άλλα μαθήματα).

Ο κύριος Μαυρογιάννης με το πρώτο του ερώτημα καταλαβαίνω πως θέλει να σπάσει την τυφλή, άνευ παραθύρου όραση, που δίνει απλά και μόνο ένας ορισμός.
Οι έννοιες που είναι εγκλωβισμένες στα σίδερα του ορισμού χρειάζεται πολυόραση
για να γίνουν κατανοητές στα παιδιά.

Έτσι προτείνω σε ένα νέο βιβλίο Άλγεβρας τον εξής ορισμό της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού :

Απόλυτη τιμή είναι η προσωρινή ενοίκηση συμβολιζόμενου μεγέθους «στιγμιαίας απόδοσης» εντός ανόριου χώρου.

Χρονόπουλος Πέτρος

Αν για τον ορισμό της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού χρειάζεται τόση φασαρία (εργαστήρια, Σχολικοί Σύμβουλοι κτλ. που μοιάζει σαν να πνιγόμαστε σε μια κουταλιά νερό), τότε για τις έννοιες της ανάλυσης χρειάζονται σεισμοί μεγέθους 10 ρίχτερ!!!
Δυστυχώς έχω δει και χειρότερα. Έχω δει Διδακτορική Διατριβή με θέμα την απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού!!! (Περιοδικό «διάσταση», Θεσσαλονίκη 1996/3-4, σελίδα 89).(Η Διδακτική των Μαθηματικών σε όλο της το μεγαλείο).

[Demetres]

Ο κύριος Μαυρογιάννης με το πρώτο του ερώτημα καταλαβαίνω πως θέλει να σπάσει την τυφλή, άνευ παραθύρου όραση, που δίνει απλά και μόνο ένας ορισμός.
Οι έννοιες που είναι εγκλωβισμένες στα σίδερα του ορισμού χρειάζεται πολυόραση
για να γίνουν κατανοητές στα παιδιά.

Εγώ νομίζω άλλο πράγμα θέλει να θίξει ο Νίκος. Αν καταλαβαίνω καλά δεν ζητάει απαραίτητα να δίνει το σχολικό βιβλίο πολλούς ορισμούς για την ίδια έννοια αλλά ζητάει αν κάποιος μαθητής γράψει στις εξετάσεις/διαγώνισμα κάποιον ισοδύναμο ορισμό αυτός να θεωρείται σωστός.

Αν αυτή είναι η άποψη του Νίκου τότε συμφωνώ. Κανονικά δεν θα έπρεπε να αποτελούσε καν θέμα συζήτησης.

Μιας και ο Νίκος θίγει το θέμα των ορισμών ας δούμε τι λέει στο μπλογκ του και ο Timothy Gowers. Η παράθεση είναι από εδώ όπου ο Gowers λύνει κάποια παλιά θέματα εξετάσεων εξηγόντας ταυτόχρονα πως σκέφτηκε για να φτάσει στην επίλυση.

Σε κάποια φάση φτάνει και στο θέμα που ζητάει να αποδειχθεί ότι αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο τότε είναι και συνεχής σε αυτό. (Έχει ήδη ζητηθεί σε προηγούμενο υποερώτημα ο ορισμός της παραγωγισιμότητας σε κάποιο σημείο.) Παραθέτω λοιπόν το απόσπασμα. (Η έμφαση είναι του συγγραφέα.)

This should be filed away in your mind as “easy result”. Ideally, you’ll have practised writing out the proof quickly, but if you haven’t, you just need to keep your head and remember that as long as you are sensible, then nothing will go badly wrong.

It’s worth stopping to think whether there is some simple high-level proof that doesn’t require you to mess about with the definitions of differentiability and continuity. But there doesn’t seem to be. Another thing that’s worth thinking about (always always always) is which definitions you want to use. The obvious definition of continuity at is



So you should write that down … shouldn’t you? No — just allow yourself a few seconds to think, because your expected gain of time is positive. Is there any other way of defining continuity? Yes, there are several ways. Is there one that’s likely to be more suitable than the epsilon-delta definition? Yes there is. The definition of differentiability was expressed in terms of limits of functions, so if we use a limits-of-functions definition of continuity, it is much more likely to dovetail neatly with the definition we’ve already written down. Accordingly...

Και η μετάφραση μου

Αυτό θα πρέπει να αρχειοθετηθεί στο μυαλό σας ως ένα «εύκολο αποτέλεσμα". Ιδανικά, θα έχετε εξασκηθεί στο να γράφετε την απόδειξη γρήγορα, αλλά αν δεν το έχετε κάνει, το μόνο που χρειάζεται είναι να παραμείνετε ήρεμοι και να θυμάστε ότι εφόσον δουλεύετε λογικά, τότε τίποτα δεν θα πάει πολύ στραβά.

Αξίζει να σταματήσετε και να σκεφτείτε αν υπάρχει κάποια απλή υψηλού επιπέδου απόδειξη που δεν απαιτεί από εσάς να μπλέξετε με τους ορισμούς της παραγωγισιμότητας και της συνέχειας. Αλλά δεν φαίνεται να υπάρχει. Ένα άλλο πράγμα που αξίζει να το σκέφτεστε (πάντα πάντα πάντα) είναι ποιους ορισμούς θέλετε να χρησιμοποιήσετε. Ο προφανής ορισμός της συνέχειας στο είναι



Πρέπει λοιπόν να τον γράψετε αυτό κάτω ... έτσι; Όχι - απλώς αφήστε στον εαυτό σας μερικά δευτερόλεπτα για να σκεφτείτε, επειδή το αναμενόμενο κέρδος σε χρόνο θα είναι θετικό. Υπάρχει κάποιος άλλος τρόπος ορισμού της συνέχειας; Ναι, υπάρχουν αρκετοί τρόποι. Υπάρχει κάποιος που να είναι πιθανώς πιο κατάλληλος από τον ε-δ ορισμό εδώ; Ναι υπάρχει. Ο ορισμός της παραγωγισιμότητας εκφράστηκε χρησιμοποιώντας όρια συναρτήσεων, έτσι αν χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της συνέχειας με τα όρια συναρτήσεων, είναι πολύ πιο πιθανό να συμβαδίσει όμορφα με τον ορισμό που έχουμε ήδη γράψει. Συνεπως ...

Να το συνδέσω και με αυτό το θέμα; Μήπως αυτή η πολλή τυπικότητα του σχολείου βλάφτει; Είμαστε μαθηματικοί και πρέπει όταν κάποιος γράφει κάτι σωστό να του το βάζουμε σωστό.

[Μάκης Χατζόπουλος]

.................

1) Απόλυτος τιμή ενός σχετικού αριθμού λέγεται ο αριθμός ούτος λαμβανόμενος χωρίς πρόσημον.
Γεώργιος Χρ. Παπανικολάου Μαθήματα Άλγεβρας 1945

2) Καλούμεν απόλυτον αριθμό ή απόλυτον τιμήν ή και μέτρον ενός θετικού μεν αριθμού ή του αυτόν τον αριθμόν, ενός δε αρνητικού τον αντίθετον του (θετικόν).
Νείλος Σακελλαρίου Άλγεβρα, 1958

3) Αν είναι ένας πραγματικός αριθμός, η απόλυτη τιμή του συμβολίζεται με και ορίζεται (... ) από τις ισότητες:

Δ. Παπαμιχαήλ κ.α Μαθηματικά Γ΄Γυμνασίου, 1977

4) Αν είναι ένας πραγματικός αριθμός η απόλυτη τιμή του συμβολίζεται με και ορίζεται ως εξής:

N. Βαρουχάκης κ.α. Μαθηματικά Α' Λυκείου, Άλγεβρα, 1978

5) Θεωρούμε ένα αριθμό που παριστάνεται με το σημείο πάνω σε έναν άξονα. Όπως ξέρουμε από το Γυμνάσιο, την απόσταση του σημείου από την αρχή δηλαδή το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος , την ονομάζουμε απόλυτη τιμή του αριθμού και την συμβολίζουμε με . Από τον παραπάνω ορισμό και από τον τρόπο που κατασκευάστηκε ο άξονας προκύπτει (...). Επομένως

Σ. Ανδρεαδάκης κ.α. 'Αλγεβρα Α' Λυκείου, 1991

6) Έκαστος σχετικός αριθμός συνίσταται ως βλέπομεν από δύο ούτως ειπείν συστατικά: από ένα πρόσημον και από ένα αριθμόν της Αριθμητικής όστις ακολουθεί το πρόσημον. Καλείται δε απόλυτος τιμή σχετικού αριθμού ο αριθμός της Αριθμητικής ο προκύπτων όταν παραλειφθεί το πρόσημαο του σχετικού αριθμού.
(...)
Ούτω προκύπτει ο 2ος ορισμός της απολύτου τιμής:
H απόλυτος τιμή πραγματικού αριθμού είναι αυτό ούτος ο όταν είναι θετικός ή ο αντίθετος του , όταν ο είναι αρνητικός, ή το μηδέν όταν .
Σπύρος Κανέλλος, Άλγεβρα δια τα Λύκεια, τ.1 σελίδες 95 και 133

7) Απόλυτη τιμή ενός αριθμού , η οποία γράφεται είναι ο .
John Kelley, Introduction to Modern Algebra, Van Nostrand, 1960

8) (...) 'Ετσι .
Υπάρχει ένας ειδικός συμβολισμός για αυτό. Ονομάζουμε το απόλυτη τιμή του και το συμβολίζουμε με

Serge Lang, Basic Mathematics, Springer 1988 (1971)

9) Απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι η απόσταση μεταξύ του αριθμού και του μηδενός πάνω στον άξονα. Γράφουμε για να συμβολίσουμε την απόλυτη τιμή του .
Randal I. Charles κ.α. Focus on Algebra, Addisson-Wesley, 1998

10) Η απόλυτη τιμή ενός ακεραίου ορίζεται να είναι ο ίδιος ο αριθμός αγνοώντας το πρόσημο του.
Joseph Newmark, Frances Lake, Mathematics as Second Language, Addisson-Wesley, 1982
.......................................................................................................................................................................

Ένας ισοδύναμος ορισμό που δίνω στην απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού είναι ο εξής:

11)

[S.E.Louridas]

Σήμερα στο εργαστήρι της Α΄ Λυκείου που γίνεται στην Ευαγγελική σχολή, ο σχολικός σύμβουλος κύριος Σαλίχος Μιχάλης πρότεινε έναν τρόπο διδασκαλίας πάνω στην απόλυτη τιμή. Στηρίχθηκε στην προσπάθεια να καταλάβει ο κάθε μαθητής (στον βαθμό που του αναλογεί)...

Αρχικά θα ήθελα να δώσω συγχαρητήρια για αυτά τα «Κρυφά Σχολειά» επί των Μαθηματικών που στόχο έχουν τον Μαθηματικό Προβληματισμό. Θα θέλαμε όμως και οι υπόλοιποι να λαμβάναμε γνώση των συζητήσεων και της συμπερασματολογίας που κατατίθενται. Διατυπώνω λοιπόν προσωπική Παράκληση:
Αυτά που συμβαίνουν εκεί να κοινοποιούνται και σε εμάς μέσω του mathematica, τουλάχιστον.

Πιστεύω ακράδαντα ότι αυτά τα γεγονότα είναι θετικές παρεμβάσεις αρκεί να λαμβάνονται σοβαρά υπ’ όψη τα εξής:
1) Ότι δεν είναι δυνατό να διδάσκονται σε ένα παιδί, που ξεκινά το οδοιπορικό προς τον όμορφο κόσμο της Λογικής Απόδειξης, συγκρουόμενοι ορισμοί για τον καθορισμό της αυτής έννοιας. Επίσης δεν θα πρέπει να διδάσκονται κατ' αρχάς και κατ' αρχήν διαφορετικοί αλλά μη συγκρουόμενοι ορισμοί της αυτής έννοιας που όμως στα μάτια του παιδιού να φαντάζουν σαν συγκρουόμενοι (εκτός των άλλων για τον βασικότατο λόγο να μείνει χρόνος να λυθεί υποδειγματικά και κανά πρόβλημα για να λειτουργήσει και η θεωρία, αφού αυτό είναι το κύριο ζητούμενο). Δηλαδή μία Μαθηματική έννοια μπορεί να απλώνεται διδακτικά χωρίς όμως να ξεχειλώνεται, αφού υπάρχει ο κίνδυνος να χάσει έτσι την φυσική της ελαστικότητα με αποτέλεσμα να μην μπορεί να εφαρμοστεί στην επίλυση των Μαθηματικών Προβλημάτων που την «χρειάζονται» καθότι στα Μαθηματικά η επίλυση Προβλημάτων είναι το Κυρίαρχο ζητούμενο.

2) Ότι τα παιδιά δίνουν εξετάσεις πάνω σε αυτά τα πράγματα και με βάση αυτά θα πρέπει να διαμορφώσουν μεθοδολογικό περιβάλλον επίλυσης Μαθηματικών Προβλημάτων για να επιτύχουν τόσο τον επιστημονικό τους στόχο (εισαγωγή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση), όσο και τον στόχο της ζωής τους. Προφανώς λέγοντας μεθοδολογικό περιβάλλον εννοώ την δυνατότητα επιλογής μεθόδου επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος. Την κατάστρωση δηλαδή στρατηγικής επίλυσης για την λογική μετάβαση από τα δεδομένα πρός τα ζητούμενα εί δυνατόν κατά τον πλέον ενδεδειγμένο τρόπο χωρίς τυφλά σημεία.

3) (Πού είναι πολύ σημαντικό) Να λαμβάνεται υπ’ όψη ότι η συμπερασματολογία θα πρέπει να απελευθερώνει ακόμα περισσότερο την ήδη υπάρχουσα Επιστημονική και Ατομική προσωπικότητα του διδάσκοντα και όχι να τον φρενάρει. Να πιστέψουμε δηλαδή στην Επιστημονική και Ατομική προσωπικότητα του διδάσκοντα. Το δασκαλίκι έχει και πρέπει να έχει σαν απαραίτητη αφετηρία – δεδομένο την Επιστημονική και Ατομική προσωπικότητα του διδάσκοντα. Ο Διδάσκων δεν είναι χειριστής κάποιου μηχανικού εργαλείου, αλλά είναι βασικός συντελεστής δημιουργίας γνώσης και κανόνων ζωής για Ανθρώπους. Επομένως θα πρέπει να ξεκινάμε με δεδομένη την εμπιστοσύνη στον Διδάσκοντα.

edit: Συμπλήρωση μίας φράσης

[Γιώργος Ρίζος]

Δυστυχώς έχω δει και χειρότερα. Έχω δει Διδακτορική Διατριβή με θέμα την απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού!!! (Περιοδικό «διάσταση», Θεσσαλονίκη 1996/3-4, σελίδα 89).(Η Διδακτική των Μαθηματικών σε όλο της το μεγαλείο).

Επειδή ο σχολιασμός δεν είναι γενικός και απρόσωπος, αλλά αντίθετα δίνεται βιβλιογραφική αναφορά, οπότε σημαδεύεται συγκεκριμένη δημοσίευση, δηλαδή γίνεται αναφορά σε συγκεκριμένο συνάδελφο, παρακαλώ είτε να τεκμηριωθεί η άποψη ότι η συγκεκριμένη Διδακτορική Διατριβή είναι ανάξια λόγου (όπως διαφαίνεται με τα απαξιωτικά λόγια: "έχω δει και χειρότερα..."), είτε να ανακληθεί και να διαγραφεί (ο προσωπικός στιγματισμός), οπότε κι εγώ θα διαγράψω το κείμενό μου.

Γνωρίζετε καλά ότι είμαι από τους τελευταίους που θα υπερασπιστούν το μηχανισμός παραγωγής και διανομής μεταπτυχιακών και διδακτορικών αμφιβόλου αντικρίσματος, αλλά δεν μπορούμε να ισοπεδώνουμε τα πάντα και μάλιστα να αναφέρουμε επώνυμα παραδείγματα, δίχως τεκμηρίωση της απαξιώτικής μας κρίσης.

[Α.Κυριακόπουλος]

Επιχείρησα να διαγράψω από το προηγούμενο μήνυμά μου δύο γραμμές που ενόχλησαν, αλλά οι διαχειριστές έχουν αφαιρέσει από το μήνυμα αυτό την «επεξεργασία». Δεν ξέρω γιατί.

[polysot]

...

Απόλυτη τιμή είναι η προσωρινή ενοίκηση συμβολιζόμενου μεγέθους «στιγμιαίας απόδοσης» εντός ανόριου χώρου.

Χρονόπουλος Πέτρος

ΟΥΓΚ ΟΥΓΚ ΟΥΓΚ!!!
Πέτρο το εξηγείς λίγο αυτό γιατί δεν έπιασα λέξη;;;

Αν για τον ορισμό της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού χρειάζεται τόση φασαρία (εργαστήρια, Σχολικοί Σύμβουλοι κτλ. που μοιάζει σαν να πνιγόμαστε σε μια κουταλιά νερό), τότε για τις έννοιες της ανάλυσης χρειάζονται σεισμοί μεγέθους 10 ρίχτερ!!!

Κ. Αντώνη, δυστυχώς είναι εμφανές μέσα από αρκετές μελέτες, οτί η πλειοψηφία των παιδιών που "εγκαταλείπουν" τα μαθηματικά το κάνουν γιατί ακριβώς δυσκολεύονται σε μερικές «απλές» έννοιες...Επίσης είναι γνωστό ότι για πολλά παιδιά η «απόλυτη τιμή» είναι το λιγότερο μία γκιλοτίνα (ακόμα θυμάμαι ότι από στα σχολικά μου χρόνια την έβλεπα και μου γύριζαν τα άντερα, μαζί με τριγωνομετρία και ανισότητες).

[nsmavrogiannis]

Έκανα μία παράθεση πολλών ορισμών της απόλυτης τιμής από διαφορετικά βιβλία για τον εξής απλό λόγο:
Οι πολλές και διαφορετικές επιλογές των συγγραφέων δείχνουν αν μη τι άλλο και διαφορετικούς τρόπους προσέγγισης της απόλυτης τιμής. Που αυτές δεν είναι μόνο περιγραφές. Είναι συγχρόνως και δίοδοι κατανόησης της έννοιας. Η απόλυτη τιμή (όπως και κάθε έννοια) είναι το σύνολο των ορισμών της. Πολύ χαρακτηριστική είναι η περίπτωση των δύο ορισμών που προτείνει ο αείμνηστος σοφός δάσκαλος Σπύρος Κανέλλος: Ξεκινάει με την απόλυτη τιμή σχετικού αριθμού δίνοντας ένα ορισμό (που δεν είναι εσφαλμένος όπως έχει γραφεί απλώς στηρίζεται σε άλλη σειρά εισαγωγής των αριθμών) και μετά περνάει στον ορισμό που ξέρουμε. Έχω γράψει και άλλες φορές ότι μία έννοια δεν κοινολογείται με ένα ορισμό και ούτε η αναπαραγωγή του ορισμού από τα παιδιά δηλώνει κατανόηση. Η έννοια πρέπει να πολιορκηθεί ποικιλότροπα. Γνωστό είναι ότι οι μαθητές αντιλαμβάνονται μία έννοια με διαφορετικούς τρόπους και με διαφορετικούς τρόπους την περιγράφουν.

Ισχυρίζομαι λοιπόν, όπως αναφέρει και ο Δημήτρης, πως αν ένα παιδί αναφέρει ένα ισοδύναμο ορισμό και όχι τον ορισμό που έχουμε εμείς αναφέρει ως τέτοιον έχει κάνει ένα σημαντικό βήμα και πρέπει να επιβραβευθεί ειδικά αν υπάρχει και το τεκμήριο της κατανόησης. Επίσης ισχυρίζομαι (και το έχω γράψει και αλλού) ότι η εμμονή στον ένα και μόνο ορισμό ειδικά σε κομμάτια Μαθηματικών που τουλάχιστον στο σχολείο δεν παρουσιάζονται με ισχυρή θεωρητική συνοχή είναι υποκριτική: Ποια είναι η αξία ενός ορισμού όταν η θεωρία είναι θρυμματισμένη.

Αυτή είναι και η προσωπική μου απάντηση στο ένα από τα δύο ερωτήματα που έθεσα. Στο άλλο δηλαδή στο ποιος ορισμός είναι προτιμητέος δεν θα πω κάτι αφήνοντας να προχωρήσει η συζήτηση αν θεωρηθεί ενδιαφέρουσα. Σε αυτού μπορούμε να συμπεριλάβουμε και τον ορισμό που παραθέτει ο Μάκης Χατζόπουλος. Είναι γνωστός αλλά δεν τον έχω συναντήσει σε κάποιο σχολικό βιβλίο.

Μιας και αναφέρθηκε το Εργαστήριο Άλγεβρας στο οποίο έχω την χαρά να μετέχω θα ήθελα να πω δυο λόγια για να μην δημιουργούνται παρανοήσεις συμπτωματικά ή σκόπιμα. Το Εργαστήριο 'Άλγεβρας είναι ένα ετήσιο πρόγραμμα επαγγελματικής ανάπτυξης εκπαιδευτικών που "τρέχει" το Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης σε συνεργασία με τον Σχολικό Μαθηματικών Σύμβουλο Δ΄ Αθήνας και το Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών. Αποτελεί μία δράση με χαρακτηριστικά που είναι διεθνώς δοκιμασμένα (δείτε communities of practice, learning communities ) προσαρμοσμένη βέβαια στην καθ΄υμάς Ανατολή (: 0 προϋπολογισμός, 0 αμοιβή και ας κάθονται οι εκπαιδευτικοί από τις 1 ως τις 4 ή και πιο αργά). Πρόκειται για ένα ελπιδοφόρο είδος δράσης που το έχει ανάγκη η εκπαίδευση και οι εκπαιδευτικοί μακράν των επισήμων, δύσκαμπτων και ενίοτε βαρετών διαδικασιών επιμόρφωσης. Για την αναγκαιότητα αυτού του είδους δράσεων "από τα κάτω" είχα αναφερθεί στην εισήγηση μου που κατετέθη σε ένα από τα στρογγυλά τραπέζια του συνεδρίου της ΕΜΕ του 2010 (Χαλκίδα). Με χαρά μου βλέπω ότι όχι μόνο ξεκίνησε το δικό μας (αναγγέλθηκε στο mathematica εδώ viewtopic.php?f=60&t=27685) αλλά και 3 μήνες μετά αναγγέλθηκε στο mathematica (viewtopic.php?f=28&p=146247#p146247) η έναρξη ενός ανάλογου εγχειρήματος από συναδέλφους της Διεύθυνσης Β΄Αθήνας. Στο Εργαστήριο Άλεβρας μετέχουν περίπου 30 Μαθηματικοί από διάφορα σχολεία που διδάσκουν στην Α΄Λυκείου. Στόχος είναι η βελτίωση της διδασκαλίας του συγκεκριμένου μαθήματος και φυσικά η επαγγελματική εξέλιξη των ιδίων των εκπαιδευτικών. Έχουμε κάνει συναντήσεις συνολικής διάρκειας περίπου 35 ωρών, έχουμε επανασχεδιάσει την διάταξη διδασκαλίας του μαθήματος, έχουμε φτιάξει κάποιο πρόσθετο εκπαιδευτικό υλικό, επεξεργαζόμαστε τα συμπεράσματα από ένα διαγνωστικό τεστ που δόθηκε περίπου σε 700 μαθητές με σκοπό να δούμε τι ελλείψεις υπάρχουν και πως θα μπορέσουμε να τις καλύψουμε ώστε να μπορέσουν να προχωρήσουν όσο γίνεται περισσότερα παιδιά, προγραμματίζουμε να παρακολουθούμε διδασκαλίες που έχουμε σχεδιάσει από κοινού και να καταφεύγουμε σε ανθρώπους που σε κάποια θέματα είναι πιο κατατοπισμένοι από μας να μας δώσουν ενημερωτικές διαλέξεις ή να μας δείξουν κάποιες πρακτικές. Έχουμε και ένα μικρό forum όπου συνεννοούμαστε για τα τρέχοντα. Όσον αφορά το θέμα της δημοσιότητας που έθεσε ο Σωτήρης Λουρίδας η φύση της δουλειάς του Εργαστηρίου δεν δίνει την δυνατότητα να παρακολουθεί ένα ευρύτερο κοινό (είναι κάτι που μας το έχουν ζητήσει συνάδελφοι της περιφέρειας). Ωστόσο για θέματα που μας απασχολούν και που θεωρούμε ότι είναι κάπως "τελειωμένα" προγραμματίζουμε διάφορες ενέργειες ώστε να μπορέσουμε να μοιραστούμε τις εμπειρίες μας με τους υπόλοιπους συναδέλφους μας.

Τελειώνοντας θα ήθελα να πω ότι (αν και αρκετά εξοικειωμένος) εξεπλάγην από την απρεπή παρέμβαση του Αντώνη Κυριακόπουλου που υπάρχει πιο πάνω ( viewtopic.php?f=28&p=150060#p150060). Λυπάμαι που ο ίδιος την θεωρεί ως φυσιολογική έκφραση γνώμης το να γράφει:

Αν για τον ορισμό της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού χρειάζεται τόση φασαρία (εργαστήρια, Σχολικοί Σύμβουλοι κτλ. που μοιάζει σαν να πνιγόμαστε σε μια κουταλιά νερό), τότε για τις έννοιες της ανάλυσης χρειάζονται σεισμοί μεγέθους 10 ρίχτερ!!!
Δυστυχώς έχω δει και χειρότερα. Έχω δει Διδακτορική Διατριβή με θέμα την απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού!!! (Περιοδικό «διάσταση», Θεσσαλονίκη 1996/3-4, σελίδα 89).(Η Διδακτική των Μαθηματικών σε όλο της το μεγαλείο).

Είναι προφανές ότι όταν ένα τέτοιο κείμενο παραμένει αναρτημένο 13 ώρες δεν "τακτοποιείται" με την απάλειψη δύο γραμμών που έχουν όλοι διαβάσει. Είτε πρέπει να απαντηθεί είτε πρέπει να ζητηθεί συγνώμη. Απούσης της δεύτερης λύσης η πρώτη είναι μονόδρομος. Θέλω λοιπόν να πω ότι είναι απολύτως προφανές ότι ο Αντώνης Κυριακόπουλος δεν είναι πληροφορημένος ούτε πως δουλεύει το Εργαστήριο Άλγεβρας ούτε τι ακριβώς περιελάμβανε η διδασκαλία του Μιχάλη Σαλίχου ούτε σε τι αποσκοπούσε. Εν τούτοις απληροφόρητος ων σπεύδει να λοιδωρήσει την προσπάθεια μιας ομάδας ανθρώπων ανθρώπων ("φασαρία", "Σχολικοί Σύμβουλοι", "πνιγόμαστε σε μια κουταλιά νερό"). Η προσπάθεια αυτή, που παντελώς αγνοεί, είναι προφανώς κακή αφού μας διαβεβαιώνει ότι "υπάρχουν και χειρότερα". Ποια; Μία διδακτορική διατριβή που είναι μία από τις καλλίτερες του είδους την οποία προφανέστατα δεν την έχει διαβάσει και την κρίνει από μία ολιγοσέλιδη παρουσίαση σε ένα περιοδικό. Κλείνοντας αυτό το σημείωμα θα ήθελα να πω ότι η ζωή προχωράει με θετικές ενέργειες και όχι με αρνητικές. Με ανάδειξη της δικής μας προσπάθειας και όχι με την μείωση της προσπάθειας των άλλων.
Μαυρογιάννης

[S.E.Louridas]

Συμφωνώ σε γενικές γραμμές με την Ανάλυση του Νίκου Μαυρογιάννη. Θα ήθελα εδώ να μου επιτραπεί να αναφέρω ότι με ταρακούνησε θετικότατα η τοποθέτηση του Γιώργου Ρίζου που παρ’ όλη την αγανάκτηση του άφησε κατά την τοποθέτηση του αυτή σαφή περιθώρια επανόρθωσης. Αυτό κατά την προσωπική μου άποψη θέλει θάρρος.
Απλά Νίκο επιμένω στην δημοσιοποίηση ωραίων εμπειριών και επιστημονικών συμπερασμάτων για την ίδια την δουλειά μου του Διδάσκοντα, τα οποία αισθάνομαι ότι προοθούν. Και τούτο το επιθυμώ για την ημέτερη πληροφόρηση και επιμόρφωση επί τα βελτίω με εξ' ανακλάσεως θετικά αποτελέσματα προς τους Μαθητές μας.

(*) Αφαίρεσα ότι θεωρήθηκε πως έθιξε ένα Άνθρωπο που τον τιμώ πολλαπλά, έστω και άν ενοχλεί. Η πρόθεση μου σαφώς και δεν ήταν αυτή, αντιθέτως...

[Aladdin]

...

Απόλυτη τιμή είναι η προσωρινή ενοίκηση συμβολιζόμενου μεγέθους «στιγμιαίας απόδοσης» εντός ανόριου χώρου.

Χρονόπουλος Πέτρος

ΟΥΓΚ ΟΥΓΚ ΟΥΓΚ!!!
Πέτρο το εξηγείς λίγο αυτό γιατί δεν έπιασα λέξη;;;

Ευχαρίστως , σε λίγα λεπτά σου απαντώ
Πέτρος Χρονόπουλος

[Aladdin]

Αυτά τα οποία γράφω για να γίνουν κατανοητά θα παρακαλέσω όποιον έχει τη διάθεση να παρακολουθήσει το σκεπτικό μου να ξεχάσει την έννοια της απόλυτης τιμής που έχει στο μυαλό του από μαθητής

Απόλυτη τιμή είναι η προσωρινή ενοίκηση συμβολιζόμενου μεγέθους «στιγμιαίας απόδοσης» εντός ανόριου χώρου.

Μέγεθος : οτιδήποτε εκδηλωμένο (ακόμη και άυλο) εμπίπτει στην ορατότητα της αντίληψης και της συνείδησης μας
Σύμβολο : το μέγεθος δεν φέρει έξω την ουσία που το γεννά, αλλά παρουσιάζεται μέσω ενός συμβόλου
Στιγμιαία Απόδοση : Κάθε μέγεθος μεταβάλλεται διαρκώς και κάθε στιγμή του ενδύεται μια συγκεκριμένη τιμή προκειμένου να γίνει πράξη με αυτήν
Απόλυτη τιμή :
Από ετυμολογία
Απόλυτο = από και λύω = ελευθερώνω
Τιμή = η αξία που έχει την ικανότητα να μπορεί να μπορεί - να βρίσκεται στην επόμενη στιγμή του τώρα της
Ανόριος χώρος : ο χώρος μέσα στον οποίο τα πάντα μπορούν να πραγματοποιηθούν
Προσωρινή ενοίκηση : το απόλυτο « πιάνει » την τιμή και την τοποθετεί σε ένα σημείο του ανόριου χώρου για να γίνει πράξη με αυτήν.
Οπότε η τιμή για λίγο εγκλωβίζεται στο Απόλυτο | | και προσωρινά ενοικεί σε αυτό έως ότου το απόλυτο την ελευθερώσει στον ανόριο χώρο και γίνει εφαρμογή
Δίνω δύο παραδείγματα για να γίνω κατανοητός

[Aladdin]

ΑΠΟΛΥΤΟ.docx

(16.89 KiB) Μεταφορτώθηκε 166 φορές

Δίνω δύο παραδείγματα της λειτουργίας του απόλυτου

[cretanman]

Θα ήθελα εδώ να μου επιτραπεί να αναφέρω ότι με ταρακούνησε θετικότατα η τοποθέτηση του Γιώργου Ρίζου που παρ’ όλη την αγανάκτηση του άφησε κατά την τοποθέτηση του αυτή σαφή περιθώρια επανόρθωσης. Αυτό κατά την προσωπική μου άποψη θέλει θάρρος.

Δυστυχώς ο Α. Κυριακόπουλος έχει αποδείξει πολλάκις στο παρελθόν και σε διαφορετικές χρονικές περιόδους ότι δε διαθέτει θάρρος να παραδεχτεί λάθη του (μια και ο "Έξυπνος παραδέχεται..." όπως γράφει και ο ίδιος στην υπογραφή του). Και αυτό φαίνεται ότι θα συνέβαινε τώρα εαν οι Γενικοί Συντονιστές δεν παρενέβαιναν ώστε η επεξεργασία του μηνύματος να μην είναι δυνατή. Θα γινόταν επεξεργασία και "δύο γραμμές που ενόχλησαν" θα έσβηναν και όλα καλά. Το διδακτορικό στο οποίο αναφέρεται ο Κυριακόπουλος είναι του Γ. Θωμαΐδη ενός από τους πιο εξαιρετικούς συναδέλφους μαθηματικούς με βαθύτατες γνώσεις μαθηματικών (καθαρών) καθώς και θέματα ιστορίας των μαθηματικών. Φυσικά όντας ο ίδιος εξαιρετικός δάσκαλος των μαθηματικών (θα το γνωρίζουν όσοι έχει τύχει να παρακολουθήσουν ομιλίες του), περιλαμβάνει στα επιστημονικά του ενδιαφέροντα και τη διδακτική των μαθηματικών. Να αναφέρω στο σημείο αυτό ότι δε νομίζω ότι ο κ. Θωμαΐδης έχει ανάγκη οποιουδήποτε είδους υποστήριξη από εμένα. Με τα γραφόμενά του όμως ο Α. Κυριακόπουλος προσέβαλε το επιστημονικό έργο του Γ. Θωμαΐδη και μάλιστα χωρίς ο ίδιος να είναι μέλος μας για να υποστηρίξει αυτά που γράφτηκαν. Και φυσικά αυτό δε θα μπορούσε να τελειώσει απλά και μόνο σβήνοντας αυτές τις "δύο γραμμές που ενόχλησαν" αλλά με ένα ακόμα πιο απλό "συγγνώμη έκανα λάθος". Μάλλον όμως ο Α. Κυριακόπουλος δεν έκανε λάθος όπως και στο θέμα των Πανελλαδικών του 2010, όπως και στο θέμα με τον Κ. Δόρτσιο (μόλις είχε γράψει το πρώτο του μήνυμα στο και τον "καλωσόρισε" ο Α. Κυριακόπουλος) που προκάλεσε την αποχώρηση του Λ. Θαρραλίδη, αλλά και στο θέμα με τα απειροαθροίσματα. Ουδέν σχόλιον...

Αντιγράφω κι ένα απόσπασμα από την προηγούμενη αποχώρηση του Α. Κυριακόπουλου εδώ μήνυμα στο οποίο νομίζω ότι συμφωνεί ο Α. Κυριακόπουλος που όμως δεν το τήρησε με τον Γ. Θωμαΐδη παραπάνω.

Κύριε Μπαλόγλου.
Το θεωρείται σωστό να προσβάλλεται συνάδελφο (… ροκανίζοντας το χρόνο..) όταν γνωρίζετε πολύ καλά ότι δεν πρόκειται να σας απαντήσει ...

Και φυσικά τώρα πλέον (αντιγράφω από εδώ)

Μέχρι να διαγραφώ από μέλος δεν πρόκειται να απαντήσω σε κανένα μήνυμα.

δηλαδή με λίγα λόγια: ή διδάσκουμε ή δεν απαντάμε!

Προσθήκη στις 02:20: Να δηλώσω τέλος, ότι ο λογαριασμός του Α. Κυριακόπουλου (παρά το ότι ζήτησε στην παραπάνω παραπομπή τη διαγραφή του) συνεχίζει να υφίσταται και δεν έχει απενεργοποιηθεί ακόμη. Θα υλοποιηθεί σε λίγες ημέρες (τα μηνύματα θα διατηρηθούν). Πιστεύω έστω και την τελευταία στιγμή ότι θα παρέμβει για να απαντήσει και δε θα αποχωρήσει χωρίς εξηγήσεις!

Αλέξανδρος