Εφαπτομένη χωρίς κύκλο

KARKAR · #1

: εφαπτομένη χωρίς κύκλο.png (13.85 KiB) Προβλήθηκε 1891 φορές

Αν ασχολείσθε με τα Μαθηματικά είναι βέβαιο ότι θα θυμάστε την εφαρμογή με το τετράγωνο

και τα δύο ισόπλευρα τρίγωνα του σχήματος , όπου προκύπτει ότι τα σημεία D,P,S

είναι

συνευθειακά . Δεν είναι εξ'ίσου βέβαιο ότι θυμάστε την $\tan15^0$ . Λοιπόν , σας έχω

ευχάριστα νέα . Κοιτάξτε το τρίγωνο DMS

. Πόσο είναι η $\tan\theta$ ; Θα έχετε και

ένα μικρό κόστος για το αδυνάτισμα της μνήμης σας : Πρέπει να δείξετε ότι : $\theta=15^0$

#2

Καλησπέρα σε όλους και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!

Αφού είμαστε σε φάκελο Διδακτικής, ας ξεκινήσουμε με μια μη αναμενόμενη (πιστεύω) προσέγγιση:

: εφαπτομένη χωρίς κύκλο.png (13.85 KiB) Προβλήθηκε 1880 φορές

Έστω

.

Τότε $\displaystyle P\left( { - 1,\;\sqrt 3 } \right)$ . Έστω $\displaystyle z = - 1 + \sqrt 3 i$ ο μιγαδικός του οποίου η εικόνα είναι το σημείο

.

Τότε ο $\displaystyle w = - iz = \sqrt 3 + i$ στρέφει τον μιγαδικό κατά -90^0

, άρα έχει εικόνα το

. Oπότε $\displaystyle S\left( {\sqrt 3 ,\;1} \right)$ .

Οπότε $\displaystyle \varepsilon \varphi \theta = \frac{{DM}}{{SM}} = \frac{1}{{\sqrt 3 + 2}} = 2 - \sqrt 3$ .

H

είναι και διχοτόμος της $\widehat {BSC} = 60^\circ$ .

Στο DSC

είναι

άρα $\displaystyle \widehat {{D_1}} = \widehat {CSD}$ . Επίσης είναι $\displaystyle \widehat {{D_1}} = \widehat {MSD}$ ως εντός εναλλάξ των DC//SM

. Άρα $\displaystyle \widehat {CSD} = \widehat {MSD} = \frac{{30^\circ }}{2} = 15^\circ$ .

edit: Με την προτροπή του Θανάση άλλαξα τη μονάδα μήκους του τετραγώνου.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 24, 2017 6:06 pm
εφαπτομένη χωρίς κύκλο.pngΑν ασχολείσθε με τα Μαθηματικά είναι βέβαιο ότι θα θυμάστε την εφαρμογή με το τετράγωνο

και τα δύο ισόπλευρα τρίγωνα του σχήματος , όπου προκύπτει ότι τα σημεία είναι

συνευθειακά . Δεν είναι εξ'ίσου βέβαιο ότι θυμάστε την $\tan15^0$ . Λοιπόν , σας έχω

ευχάριστα νέα . Κοιτάξτε το τρίγωνο . Πόσο είναι η $\tan\theta$ ; Θα έχετε και

ένα μικρό κόστος για το αδυνάτισμα της μνήμης σας : Πρέπει να δείξετε ότι : $\theta=15^0$

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!

$\displaystyle \tan \theta = \dfrac{{DM}}{{MS}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{a + \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{1}{{2 + \sqrt 3 }} = 2 - \sqrt 3$

$\displaystyle \tan 2\theta = \frac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} = \frac{{2(2 - \sqrt 3 )}}{{1 - {{(2 - \sqrt 3 )}^2}}} = \frac{{2(2 - \sqrt 3 )}}{{2(2\sqrt 3 - 3)}} = \frac{{(2 - \sqrt 3 )(2\sqrt 3 + 3)}}{9} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

Καλά που θυμάμαι ότι $\displaystyle \tan {30^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{3},$ οπότε $\boxed{\theta=15^0}$

#4

Υπάρχει και το άλλο. Έχουμε ήδη βρει από πριν ότι $\displaystyle \tan \theta = 2 - \sqrt 3$

: Εφαπτομένη χωρίς κύκλο.png (20.19 KiB) Προβλήθηκε 1868 φορές

Με απλό κυνήγι γωνιών τώρα βρίσκουμε $\theta=15^0.$ Άρα μόλις μάθαμε ότι $\boxed{\tan {15^0} = 2 - \sqrt 3 }$

Εφαπτομένη χωρίς κύκλο

Εφαπτομένη χωρίς κύκλο

Re: Εφαπτομένη χωρίς κύκλο

Re: Εφαπτομένη χωρίς κύκλο

Re: Εφαπτομένη χωρίς κύκλο

Μέλη σε σύνδεση